Es gilt für \(k\in\mathbb{Z}\cap[-\theta,\theta]:~ P_\theta(X = k) = \frac{1}{2\theta + 1} \), da \( |\mathbb{Z} \cap [-\theta, \theta] | = 2\theta + 1 \). Unterscheide nun zwei Fälle:
1. \( |k|\neq m\): Dann gilt für alle \(\theta\in\mathbb{N_0} \)
$$ P_\theta(X = k ~|~ S = m) = P_\theta(X=k ~|~ |X|=m) = \frac{P_\theta(X=k, |X|=m}{P_\theta(|X|=m)} = \frac{0}{P_\theta(|X|=m} = 0. $$
2. \(|k|=m\): Dann gilt für alle \(\theta\in\mathbb{N_0} \)
$$ P_\theta(X=k ~|~ |X|=m) = \frac{P_\theta(X=k, |X|=m)}{P_\theta(|X|=m)} = \frac{\frac{1}{2\theta + 1}}{\frac{2}{2\theta + 1}} = \frac{1}{2} .$$
In beiden Fällen ist das Endergebnis unabhängig von \(\theta\), also ist \(S\) suffizient.
Nun das ganze mit dem Fisher-Neyman Kriterium (da bin ich mir allerdings nicht ganz sicher, wirkt irgendwie zu einfach):
Zu zeigen: Es existieren messbare Funktionen \(g_\theta\) und \(h\), sodass \(P_\theta(X=k)=g_\theta(S(k))h(k)\).
Wähle
$$ g_\theta(k)=\frac{\mathbb{I}_{\mathbb{Z} \cap [-\theta, \theta]} (k)}{2\theta +1} \text{ und } h(k)=1 $$
