Mathematische Statistik

Question

Für ϑ∈ℕ₀ bezeichen  P_ϑ die uniforme Verteilung auf ℤ ∩ ⌈-ϑ,ϑ⌉.

Zeigen Sie, dass dann S : x ↦ l x l suffizient für (  P_ϑ : ϑ∈ℕ₀ ) ist, indem Sie

(a) durch direkte Rechnung nachweisen, dass für alle geeigneten k, m die Wahrscheinlichkeit

P_ϑ  ⌈X= k Ι S = m⌉ nicht von ϑ abhängt ( wobei X die Identität auf ℤ sei )

(b) das Neymansche Faktorisierungskriterium nachprüfen.

Answer 1

Es gilt für $k\in\mathbb{Z}\cap[-\theta,\theta]:~ P_\theta(X = k) = \frac{1}{2\theta + 1}$, da $|\mathbb{Z} \cap [-\theta, \theta] | = 2\theta + 1$. Unterscheide nun zwei Fälle:

1. $|k|\neq m$: Dann gilt für alle $\theta\in\mathbb{N_0}$

$$P_\theta(X = k ~|~ S = m) = P_\theta(X=k ~|~ |X|=m) = \frac{P_\theta(X=k, |X|=m}{P_\theta(|X|=m)} = \frac{0}{P_\theta(|X|=m} = 0.$$

2. $|k|=m$: Dann gilt für alle $\theta\in\mathbb{N_0}$

$$P_\theta(X=k ~|~ |X|=m) = \frac{P_\theta(X=k, |X|=m)}{P_\theta(|X|=m)} = \frac{\frac{1}{2\theta + 1}}{\frac{2}{2\theta + 1}} = \frac{1}{2} .$$

In beiden Fällen ist das Endergebnis unabhängig von $\theta$, also ist $S$ suffizient.

Nun das ganze mit dem Fisher-Neyman Kriterium (da bin ich mir allerdings nicht ganz sicher, wirkt irgendwie zu einfach):

Zu zeigen: Es existieren messbare Funktionen $g_\theta$ und $h$, sodass $P_\theta(X=k)=g_\theta(S(k))h(k)$.

Wähle

$$g_\theta(k)=\frac{\mathbb{I}_{\mathbb{Z} \cap [-\theta, \theta]} (k)}{2\theta +1} \text{ und } h(k)=1$$

Comments

Vielen Dank

LG Jameel