Billiard Lichtreflexion Spurpunkt

Question

Auch beim Billiard kommt es zu Reflexionen der Kugel an der Bande. Auf dem abbgebildeten Tisch liegt die Kugel in der Posotion P (6/4). sie wird geradlinig in Richtung des Vektors (2/3) gestoßen.  Trifft sie das Loch bei L (14/0)?

Meine Überlegung:

X= 6/4 + r* 2/3

14/0 = 6/4 + r * 2/3

Comments

Es würde mir ausreichen wenn einer mir sagt wie ich vorgehen soll

Answer 1

Witzige Aufgabe.
Mittels des Punktes P und des Richtungsvektor kann man den Aufprallpunkt P_A(14|16) auf der Bande A über das Gleichungsystem $$\begin{pmatrix} 6\\4 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14\\y \end{pmatrix}$$

berechnen. Dann argumentiert man, daß der nächste Richtungsvektor von Bande A nach Bande B auf Grund der Spiegelung an der Bande (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) (-2,3)^T lauten muß und bestimmt analog damit den Aufprallpunkt P_B (6|28) auf der Bande B. Dasselbe für P_C (0|19) und schließlich $$P_{D}(\frac{38}{3},0)$$

Die Kugel geht also nicht ins Loch.
(Ich vermute, daß läßt sich auch irgendwie zeigen, wenn man den Tisch geeignet spiegelt/vergrößert und schaut, ob die erste Gerade die neue Ecke irgendwo trifft, habe aber keinen Weg gfunden).

Answer 2

Anderer Weg. Statt sich die Bahn der Kugel an der Bande gespiegelt vorzustellen, denken wir uns den Tisch an der Bande gespiegelt vor. Dann bleibt die Bahn der Kugel einfach eine Gerade.

Man sieht bereits, dass die Ecke nicht getroffen wird.

[6, 4] + r·[2, 3] = [42, 56] → Keine Lösung

[6, 4] + 4·[9, 13] = [42, 56] → Das wäre eine Lösung.

Die Kugel müsste also z.B. in Richtung des Vektors [9, 13] geschossen werden.

Weiterhin kann man zeigen, dass

[6, 4] + r·[2, 3] = [14·m, 28·n] keine Lösungen für ganzzahlige Werte von m und n besitzt.

Comments

Ja danke, so etwas hatte ich vermutet.

Muß man natürlich beweisen, dass das äqivalent ist und erforderlich ist auch eine rechnerische Lösung, sprich wie man zeigt, dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt. Wenn das eine Schulaufgabe gewesen sein sollte, geht das vermutlich etwas über das Niveau hinaus.

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Erforderlich ist natürlich eine rechnerische Lösung, sprich wie man zeigt, dass es keine ganzzahligen Lösungen gibt.

Es ist ja gefragt, ob die Kugel auf dem gezeichneten Weg in das Loch geht und nicht über unendliche Anzahl von weiteren Banden.

Es würde also langen für die Schulaufgabe, wenn man zeigt das [6, 4] + r·[2, 3] = [42, 56] keine Lösung besitzt.

Und wie bereits gesagt bräuchte man nur den Bahnwinkel um etwa 1 Grad ändern auf Richtung [9, 13] sodass das Loch getroffen wird. Aber das war auch nicht gefragt.