Für n € N gilt n^2 < 2^n , ich weiß dass es ab n<5 klappt , aber Begründung?

Question

Ich soll diese Annahme kurz Begründen .

Wie macht man sowas ?

Comments

Vollständige Induktion ?

---

Und du meinst für \( n \geq 5 \).

Answer 1

Ich gehe von folgender Behauptung aus.

Für alle n∈ℕ, n≥5  gilt:  2ⁿ > n²

Basis n=5:     2⁵ = 32  >  25 =  5²  ist wahr

Induktionsschluss:   2ⁿ > n²  ⇒ 2ⁿ⁺¹ > (n+1)²

Nachweis:   

2ⁿ⁺¹ = 2 • 2ⁿ  >  2 • n²  = n² + n² = n² + n • n ≥ n² + 5 • n = n² + 2n + 3n  >  n² + 2n + 1 = (n+1)² 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo,

wie sind Sie bei Nachweis auf 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ > 2 * n² ... gekommen (also auf die fettgedruckte 2)?

Gruß Paloma