Zeige 0 ist Eigenwert von ba aber nicht von ab

Question

Wie zeige ich das ? danke für eure Bemühungen im Voraus.

Comments

Schreib halt \(\beta\alpha\) und \(\alpha\beta\) mal ausfuehrlich hin. Dann sollst Du eine Folge \(\ne0\) angeben, die von \(\beta\alpha\) auf \(0\) abgebildet wird, waehrend es bei \(\alpha\beta\) sowas nicht gibt.

Answer 1

Betrachte die von 0 verschiedene Forlge    f =  (1,0,0,0...)

Dann ist  (ich nehme mal a b statt alpha beta)

b(a(f))= b (   (0,0,0....) )   =  (0,0,0,0....)    = 0*f   und f ≠ 0 also 0 ein Eigenwert von ba.

wäre 0 Eigenwert von ab müsste es eine von der  0-Folge  verschiedene Folge

(a1,a2,a3,...,) geben mit   a(b( (a1,a2,a3,...,)) = 0-Folge

aber     a(b( (a1,a2,a3,...,)) =    a( 0,a1,a2,a3,...,))= (,a1,a2,a3,...,)

im Widerspruch zu  (a1,a2,a3,...,) ist nicht die o-Folge.