Zeige 0 ist Eigenwert von ba aber nicht von ab

Question

Wie zeige ich das ? danke für eure Bemühungen im Voraus.

Comments

Schreib halt $\beta\alpha$ und $\alpha\beta$ mal ausfuehrlich hin. Dann sollst Du eine Folge $\ne0$ angeben, die von $\beta\alpha$ auf $0$ abgebildet wird, waehrend es bei $\alpha\beta$ sowas nicht gibt.

Answer 1

Betrachte die von 0 verschiedene Forlge    f =  (1,0,0,0...)

Dann ist  (ich nehme mal a b statt alpha beta)

b(a(f))= b (   (0,0,0....) )   =  (0,0,0,0....)    = 0*f   und f ≠ 0 also 0 ein Eigenwert von ba.

wäre 0 Eigenwert von ab müsste es eine von der  0-Folge  verschiedene Folge

(a1,a2,a3,...,) geben mit   a(b( (a1,a2,a3,...,)) = 0-Folge

aber     a(b( (a1,a2,a3,...,)) =    a( 0,a1,a2,a3,...,))= (,a1,a2,a3,...,)

im Widerspruch zu  (a1,a2,a3,...,) ist nicht die o-Folge.