Bist Du sicher, dass die Aufgabe genau so lautet?
Meist stellen Lehrer Sonderfall-Fragen, wo sich was kürzt, oder wo glatte Ergebnisse herauskommen...
Habe gerade nicht genug Zeit für exakte Lösungswege wie
http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
(LambertW funktioniert auch mit komplexen Zahlen)
deshalb der universelle Lösungsweg: Newton-Iteration
Das SCHÖNE an der Mathematik ist, dass Gesetze meist universell sind -> mit anderen Worten:
Die Newton-Iteration funktioniert auch mit komplexen Zahlen!
Nach Umstellung:
4*3^{3*x+5}+64^x+4096=0 oder
972*27^{x}+64^x+4096 =0 hat man die Null-Funktion -> dann
Iterationsformel:
a[n+1]=a[n]-(4*3^{3*a[n]+5}+64^{a[n]}+4096)/(64^{a[n]}*log(64)+27^{2+a[n]} log(81))
geeigneten Startwert für a[0] {komplexe Feldvariable} suchen
und so lange einsetzen (iterieren), bis sich kaum noch was ändert, also bis der blaue Teil die gesuchte Genauigkeitsgrenze erreicht hat:
Realteil Re(x) und Im(x) kann man z.B. mit der Bedingung abs(blau)<10^{-10} beschreiben (Abbruchbedingung).
Das komplizierte hierbei ist nun, dass es mehrere komplexe Lösungen gibt:
- also geeignete Startwerte zu finden
- gegebenenfalls die 0-Funktion umstellen, um andere Konvergenzgeschwindigkeit zu bekommen
Wenn Du mehr brauchst (einige konkrete komplexe Zwischenergebnisse), melde Dich.
Und: wie man bei WolframAlpha sieht, ist meist +/- selbe Imaginärteil
(also wie hier 2 Doppel-Lösungen; es könnte auch noch mehr geben...)
Man sollte aber immer eine Kontroll-Rechnung mit den kompexen Zahlen machen, da das "Überschlagen" mit komplexen Zahlen per normalen Menschengehirn nicht funktioniert.
