Funktion an der Stelle 0 stetig und es gilt f(x+y)=f(x)+f(y)

Question

sei Funktion f:R-->R an der Stelle 0 stetig und es gilt

f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x und y in R. Zeige dass f auf ganz R stetig ist.

http://lsgm.uni-leipzig.de/KoSemNet/pdf/semmler-05-1.pdf

Ich habe dazu die Causchyische Funktionalgleichung gefunden, die zeigt, dass wenn f(x+y)=f(x)+f(y)

die Funktion f(x)=cx ist. Und diese Funktion ist dann überall stetig.

Aber wieso brauche ich dann die Angabe, dass 0 stetig ist?

Answer 1

Causchyische Funktionalgleichung: f sei eine stetige Funktion mit f(x+y)=f(x)+f(y) ∀x,y∈ℝ. Dann existiert ein c, so dass f(x) = c·x ∀x∈ℝ.

Daraus die Stetitgkeit einer Funktion zu beweisen, die die Causchyische Funktionalgleichung erfüllt, ist trivial: die Funktion ist laut Voraussetzung stetig.

Die Voraussetzung ist aber nicht die, die du in der Aufgabenstellung gegeben hast. Laut Aufgabenstellung darfst du nur davon ausgehen, dass die Funktion bei stetig ist.

Stattdessen: Sei ε,δ>0. Die Stetigkeit bei x₀=0 sagt etwas darüber aus, wo die Funktionswerte des Intervalls [x₀-δ; x₀+δ] liegen. Sei x₁≠0 aus diesem Intervall. Die Funktionalgleichung f(x₀+x₁)=f(x₀)+f(x₁) sagt etwas darüber aus, wo die Funktionswerte des Intervalls [x₁-δ; x₁+δ] liegen. Das muss mathematisch noch etwas präzisiert werden.

Comments

wie muss ich dann bei dieser Aufgabe vorgehen?

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Ich habe meine Antwort um eine Idee für einen Beweis erweitert.

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dann kann man induktiv folgern, dass die Funktion im ganzen Definitionsbereich stetig ist oder?

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Ja, das ist die Idee.