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kann mir jemand einen Ansatz zu dieser Aufgabe liefern, stehe gerade auf dem Schlauch.


Gegeben sei A :=

3
1
-2
6

Berechnen Sie etA; t∈R.

Hinweis: Sie durfen fur diese Aufgabe die folgende Eigenschaft der Matrixexponentialfunktion
verwenden:
Ist B ∈ Rnxn und T ∈ Rnxn invertierbar, so gilt
eTBT-1
= TeBT-1


lG

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Wie habt ihr denn eA definiert, wenn A eine Matrix ist?

Wir hatten A einfach als Matrix aus dem Rnxn definiert und etA als Bild Mathematik

Tipp: Verwende die Zerlegung \(\begin{pmatrix}3&1\\-2&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}^{-1}\).

Ich habe jetzt etwas heraus:

charakteristische polynom: λ2 -9λ+20=0

Eigenwerte: λ1= 5 ,λ2= 4

Eigentvektor zu λ1:  v1 =

1
2

Eigenvektor zu λ2 = v2=

1
1


Damit die Matrix T aufgestellt: T=

1
1
2
1

Diese dann Transformiert: T-1 =

-1
1
2
-1

Dann mit der gleichung: T-1*A*T =

5
0
0
4
berechnet. Und daraus dann folgende Gleichung gemacht:etA = T * T-1 * [e5t, 0 ; 0 e4t]

und dann zusammen multipliziert.

Ist das richtig? lG

In der letzten Gleichung ist die Reihenfolge der Faktoren falsch.

Bild Mathematik

Ach habs falsch abgetippt. Hatte gerechnet: T * [e5t, 0 ; 0 e4t] * T-1

Ist das richtig? Mich verwirrt nämlich, dass ich gelesen hatte, dass eine Jordanische NF herauskommen muss, also bei

5
0
0
4

eig noch ein Eintrag über der 4 sein müsste ?!


lG

Die Matrix hat zwei verschieden Eigenwerte, ist also diagonalisierbar.

Okay, dann habe ich das jetzt verstanden.

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