Matrixexponentialfunktion. Wie Beweise ich das?

Question

Ich habe eine Typische Matrix gegeben...

A=\( =\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . \)

Jetzt soll ich zeigen, dass A^4=1 ist

Wie mach ich das denn jetzt?

Ich dachte ich würde die Matrix einfach potenzieren, aber da kommt kein Ergebnis raus, was mich in irgendeiner Form an eine 1 bringt

Comments

Wenn ich jetzt beweisen soll, dass A^(2k) =(-1)^k  1

Für alle k=0,1,2,3,4.... Ist...

Wie würde die Rechnung dann aussehen?

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du eigentlich nur zwei Matrixmultiplikationen ausführen:

$$A^2=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$$$$A^4=A^2\cdot A^2=\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$$

Comments

Ahhhhhh ja klar. Ist ja auch logisch. Hab das offensichtlich natürlich wieder komplett übersehen hahah...

Und wenn ich jetzt noch A^3 machen würde müsste ich im Grunde die Matrix mit A^2 multiplizieren?! :o

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Genau: \(A^3=A^2\cdot A\).

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Wenn ich jetzt beweisen soll, dass A^(2k) =(-1)^k    1

Für alle k=0,1,2,3,4.... Ist...

Wie würde die Rechnung dann aussehen?