Aufgabe:
a) Seien \( Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n} \) unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen mit Parametern \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}>0 . \) Dann ist \( \hat{Y}=\min \left\{Y_{i} ; i=1,2, \ldots, n\right\} \) exponential-verteilt mit Parameter \( \hat{\lambda}:=\sum \limits_{i=1}^{n} \lambda_{i} \)
Hinweis: Versuchen Sie zuerst \( \mathbb{P}(\hat{Y}>t) \) zu berechnen, wobei es reicht, wenn Sie nur \( t \geq 0 \) betrachten.
b) Für natürliche Zahlen \( n \) ist die Gammafunktion definiert durch
$$ \Gamma(n):=(n-1) ! $$
sind \( \alpha, n \in \mathbb{N}, \) so nennen wir eine reelle Zufallsvariable \( X \) Gamma-verteilt mit den Parametern \( \alpha \) und \( n\left(\mathrm{kurz} X \sim \Gamma_{\alpha, n}\right), \) falls die Dichte von \( X \) durch
$$ f_{\alpha, n}(x)=\frac{1}{\Gamma(n)} \alpha^{n} x^{n-1} e^{-\alpha x} \cdot \mathbf{1}_{[0, \infty)}(x) $$
gegeben ist. Seien \( X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} \) unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen mit \( X_{i} \sim \operatorname{Exp}_{\alpha} \) für \( i=1, \ldots, n . \) Zeigen Sie, dass \( S_{n}:=X_{1}+X_{2}+\cdots+ \)
\( X_{n} \sim \Gamma_{\alpha, n}, \) also, dass die Summe der Zufallsvariablen \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) die Dichte \( f_{\alpha, n} \) hat.
