Prüfen Sie mit Hilfe der Faltungsformel

Question

Aufgabe:

Seien \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \in(0, \infty) \) beliebig, aber fest. Weiter seien \( X_{1} \) und \( X_{2} \) zwei unabhängige \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \) wertige Zufallsvariablen auf einem W-Raum \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \) derart, dass \( \mathbb{P}_{X_{i}}=\operatorname{Exp}_{\lambda_{i}} \) (Exponentialverteilung) für jedes \( i=1,2 \). Prüfen Sie mithilfe der Faltungsformel , ob es ein \( \lambda \in(0, \infty) \) gibt, so dass die Verteilung der Zufallsvariable \( X_{1}+X_{2} \) gegeben ist durch \( \operatorname{Exp}_{\lambda} . \)

Comments

Hallo,

schreib doch mal die Faltungsformel hierhin, damit wir einig sind, was zu tun ist.

Gruß Mathhilf

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Seien \( X \) und \( Y \) zwei unabhängige \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \)-wertige Zufallsvariablen \( \operatorname{auf}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \), deren Verteilungen R-Dichten \( f_{X} \) bzw. \( f_{Y} \) besitzen. Zudem sei die durch \( f_{(X, Y)}(x, y):=f_{X}(x) f_{Y}(y) \) definierte Funktion \( f_{(X, Y)}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{+} \ddot{u} b e r \mathbb{R}^{2} \) uneigentlich \( R \)-integrierbar.

Dann besitzt auch die Verteilung \( \mathbb{P}_{X+Y} \) der Zufallsvariablen \( X+Y \) eine R-Dichte, \( f_{X+Y} \), und es gilt
\( f_{X+Y}(x)=f_{X} * f_{Y}(x):=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x-y) f_{Y}(y) d y \quad \) für alle \( x \in \mathbb{R} . \)

Answer 1

Vom Duplikat:

Titel: Faltungsformel und Exponentialverteilung

Stichworte: exponentialverteilung

Aufgabe:

Seien \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \in(0, \infty) \) beliebig, aber fest. Weiter seien \( X_{1} \) und \( X_{2} \) zwei unabhängige \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \) wertige Zufallsvariablen auf einem W-Raum \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \) derart, dass \( \mathbb{P}_{X_{i}}=\operatorname{Exp}_{\lambda_{i}} \) (Exponentialverteilung) für jedes \( i=1,2 \). Prüfen Sie mithilfe der Faltungsformel, ob es ein \( \lambda \in(0, \infty) \) gibt, so dass die Verteilung der Zufallsvariable \( X_{1}+X_{2} \) gegeben ist durch \( \operatorname{Exp}_{\lambda} . \)