ich arbeite gerade mit dem Buch Analysis, Forster. Es wurde bis jetzt ein angeordneter Körper definiert.
Danach wird folgendes geschrieben:
Es sei \( \mathscr{N} \) die kleinste Teilmenge von \( \mathbb{R} \) mit folgenden Eigenschaften:
i) \( 0 \in \mathscr{N} \)
ii) \( x \in \mathscr{N} \Rightarrow x +1 \in \mathscr{N} \).
Wir definieren eine Abbildung \( v: \mathscr{N} \rightarrow \mathscr{N}, v(x) := x+1 \). Um zu sehen, dass die Menge \( \mathscr{N} \) aus den 'richtigen' natürlcihen Zahlen besteht, verifizieren wir die sog. Peano-Axiome.
(P.1) \( x \not = y \Rightarrow v(x) \not = y(y) \)
(P.2) \( 0 \not \in v(\mathscr{N}) \)
(P.3) Sei \( M \in \mathscr{N} \) eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften:
i) \( 0 \in M \)
ii) \( x \in M \Rightarrow v(x) \in M \).
Dann gilt \( M = \mathscr{N} \).
Die Verifizierung der Axiome P1 und P2 habe ich verstanden. Bei der Verifizierung von P.3 schreibt Forster, dass der nach Definition erfüllt wird. Das verstehe ich leider nicht.
Eigentlich verstehe ich nicht ganz was an dieser Stelle zu tun ist. Ich glaube ich müsste erst mal beliebige eine Menge \( M \subseteq \mathscr{N} \) nehmen, die i) und ii) von P3 erfüllt und zeigen, dass \( M = \mathscr{N} \) oder? Wenn ja, wie mache ich das bzw. warum sollte das als selbstverständlich sein?
Danke.
