Kosten und Gewinne Funktion

Question

Eine Firma stellt Schokoeier her. Eine Wareneinheit von 1000 Packungen wird auf dem Großmarkt für 3,5 Geldeinheiten (a 1000 Euro) verkauft. Die Herstellungskosten in Abhängigkeit von der wöchentlichen Produktionsmenge werden durch die Funktion k(x)=0.0125x³-0.35x²+4,3x+9.6 beschrieben. Die Firmenleitung möchte ihren Marktanteil erhöhen und für das Ostergeschäft besonders viele Schokoeier produzieren. Allerdings darf dieser Geschäftszweig keine Verluste erzielen.

a. Geben sie die Erlösfunktion an.

b.Bestimmen sie die Gewinnfunktion.

c.Berechnen Sie , bei welcher Produktionsmenge der Gewinn am höchsten ist.

d.Berechnen Sie wie viel Schokolade höchsens produziert werden dürfen, ohne dass Verluste gemacht werden.

Answer 1

Erlös.  e(x) = 3,5*x

Gewinn  g(x) = e(x) - k(x) = -0,0125x^3 +0,35x^2 -0,8x -9.6

c) g ' (x) = -0,0375x^2 + 0,7x - 0,8 = 0

wenn x = 17,44 oder x = 1,22

und f ' ' ( 17,44 ) = -0,608 < 0 also lok. Max bei x = 17,44

und  f ' ' ( 1,22 ) =  0,608  >   0 also lok. Min.

max. Gewinn bei Produktion von 17,44 Mengeneinheiten.

g(x) = 0  gibt  x = 24  oder x=8  oder x= -4

Also nicht mehr als 24 Mengeneinheiten.

Answer 2

a) E(x) = 3,5 • x

b) G(x) = E(x) - k(x) = 3,5 • x - ( 0.0125x³-0.35x²+4,3x+9.6) = - 0.0125x³ + 0.35x² - 0,8x - 9.6

c) G'(x ) = 0  ergibt  mögliche Extremstellen x_E 

    G''(x_E) < 0 → Menge x mit maximalem Gewinn.

d) Hierzu benötigt man die Nullstellen von G(x). Diese können bei der gegebenen Funktion nur durch ein numerisches Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren), bzw. durch Raten einer Lösung und Polynomdivision (bei dieser Gleichung eine Zumutung!) bestimmt werden.

Lösung:  x = 24 ∨ x = 8 ∨ x = -4

Da die Funktion für x → ∞  gegen  - ∞ strebt, muss - wenn Verluste vermieden werden sollen - für die Produktionsmenge  8 ME ≤ x ≤ 24 ME gelten.

Gruß Wolfgang