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Zuwachs des Kapitalstocks in 5 Jahren bei einer Investitionsrate von \(I(t) = 3,9 \cdot t^{0,3}\)
Um den Zuwachs des Kapitalstocks in 5 Jahren zu berechnen, benötigen wir die Integralrechnung. Das liegt daran, dass die Investitionsrate \(I(t)\) über einen bestimmten Zeitraum, in diesem Fall 5 Jahre, integriert wird, um die gesamte Änderung des Kapitals über diesen Zeitraum zu erfassen.
Die Investitionsrate ist gegeben durch \(I(t) = 3,9 \cdot t^{0,3}\). Um den Gesamtzuwachs des Kapitalstocks über 5 Jahre zu berechnen, integrieren wir \(I(t)\) über das Intervall von 0 bis 5 Jahre.
Die Formel für das Integral lautet:
\(
\text{Zuwachs des Kapitalstocks} = \int_{0}^{5} 3,9 \cdot t^{0,3} \, dt
\)
Um dieses Integral zu lösen, verwenden wir die allgemeine Formel für die Integration einer Funktion der Form \(t^n\), welche lautet:
\(
\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C
\)
In unserem Fall ist \(n = 0,3\), also lösen wir das Integral wie folgt:
\(
\int_{0}^{5} 3,9 \cdot t^{0,3} \, dt = 3,9 \cdot \frac{t^{0,3+1}}{0,3+1} \bigg|_{0}^{5}
\)
Das vereinfacht sich zu:
\(
3,9 \cdot \frac{t^{1,3}}{1,3} \bigg|_{0}^{5} = \frac{3,9}{1,3} \cdot t^{1,3} \bigg|_{0}^{5}
\)
Noch weiter vereinfacht zu:
\(
3 \cdot t^{1,3} \bigg|_{0}^{5}
\)
Jetzt setzen wir die Grenzen ein:
\(
3 \cdot (5^{1,3} - 0^{1,3})
\)
Da \(0^{1,3} = 0\), lautet unsere Gleichung:
\(
3 \cdot 5^{1,3}
\)
5 hoch 1,3 ergibt ungefähr:
\(
3 \cdot (5^{1,3}) \approx 3 \cdot 9,513 = 28,539
\)
Der Zuwachs des Kapitalstocks über einen Zeitraum von 5 Jahren bei einer Investitionsrate von \(3,9 \cdot t^{0,3}\) ist somit ungefähr 28,539 Einheiten.
