Reeller Vektorraum P der reellen Polynome des Grades <= 2 zusammen mit der Addition und der Multiplikation

Question

Die Aufgabe gibt einen reellen Vektorraum P der reellen Polynome des Grades <= 2 vor mit der Addition von Polynomen (p+q)(x) := p(x) + q(x) und der Multiplikation mit Konstanten (cp)(x) := cp(x)

Jetzt soll ich zeigen, dass (P, +, ·) ein reeller Vektorraum ist.

Wie gehe ich da vor?

Mir fehlt leider der Ansatz, wie ich das nun beweisen kann. Die Axiome kenne ich bereits.

Answer 1

Das Nachweisen welchen Axioms bereitet dir Schwierigkeiten? Die meisten folgen unmittelbar aus den Rechenregeln für reelle Zahlen.

Comments

Aber wie soll ich das hinschreiben?

Ich weiß leider nicht, wie ich das auf die Polynome übertragen soll.

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Bspw.

$$ (p+q)(x) = p(x) + q(x) = q(x) + p(x) = (q+p)(x) $$

wegen der Kommutativität der Addition reeller Zahlen.

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Und das wäre jetzt schon der ganze Beweis für die Kommutativität?

Dann hätte ich mal wieder viel zu kompliziert gedacht ...

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Mir ja, aber wenn du fragen musst bin ich mir nicht sicher, ob es für dich bzw. deinen Adressaten ausreicht :). Grundsätzlich sollte ja schon eine Progression in der Beweisführung stattfinden, warum sollte es also nicht möglich sein Sachen zu verwenden die man bereits bewiesen hat ;)?

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Ich hab mich nun mal weiter am Inversen versucht und das sieht dann bei mir so aus:

p(x) + (-p(x)) = p(x) + (-p(x)) = 0

Das erste Plus ist dabei "umkreist"

Dann wäre das ja der Beweis der Inversen wenn ich das so mache wie bei der Kommutativität?

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Streng genommen wäre das doch nur die Definition der Inversen. Du solltest noch dazu schreiben was genau du mit (-p(x)) meinst.

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Dann hab ich nun vermutlich die dämlichste Frage ..

Was wäre das -p(x)?

Das ist mir nämlich nicht klar, was ich dafür einsetzen kann

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Im Grunde einfach nur \( (-1) \cdot p(x) \) im Sinne der Definition der Multiplikation eines Polynoms mit einem reellen Skalar.

Vielleicht um dich mal in eine andere Richtung zu stoßen. Du kannst doch jedes Polynom \( p \in P\) darstellen durch:

$$ p(x) = ax^2+bx+c $$

wobei \(a,b,c \in \mathbb{R} \).

Durch \(-p(x) :=-ax^2-bx-c = (-1) \cdot p(x) \)

Ist \(-p \in P\) und \(p(x) + -p(x) = 0 \)

Damit hast du dein Inverses (ausführlich) bestimmt.