Beweis der Ungleichung (Konvegenz?)

Question

Ich habe diese Aufgabe hier:

Ich hätte jetzt einfach gesagt:

Wenn ich zeige, dass n≤1/a dann heißt das doch a≤1/n. Dann kann ich doch folgern, dass |a-1/n|≤|1/n-1/n|=O<1/n^2, weil ja eine natürliche Zahl ist.

Aber das wäre ja irgendwie zu einfach...

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Das kannst du nicht folgern. Gegenbeispiel:

n=2, a=0.4: |0,4-1/2|=0,1 > 0.

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OK.

Wie mach ich das dann?

Answer 1

Hi,

wenn Du bewiesen hast, das es ein \( n \in \mathbb{N} \) gibt mit \( n \le \frac{1}{a} < n+1 \), dann folgt \( \frac{1}{n+1} < a \le \frac{1}{n} \) und daraus \( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n} = -\frac{1}{n(n+1)} < a-\frac{1}{n} \le 0  \) Also gilt
\(\left| a-\frac{1}{n} \right|= \frac{1}{n}-a < \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{n^2} \)

Sei \( m \in \mathbb{N} \) die kleinste Zahl mit \( \frac{1}{a} < m \), dann gilt \( m-1 \le \frac{1}{a} < m \), denn wenn \( \frac{1}{a} \le m-1 \) gelten würde, wäre \( m \in \mathbb{N} \) nicht die kleinste Schranke. damit ist die Voraussetzung bewiesen.

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Vielen Dank, ich glaub dann bekomm ich das hin