Berechne jeweils die Lagebeziehungen und gegebenfalls die Schnittgerade der Ebenen

Question

1.) E1 = 3x -2y +2z = 13

E2 = 5x -3y +3z = 2





2.) in Parameterdarstellung gegeben:

E1: X (s,t) = (2/-3/-4) +s*(2/6/4) + t*(-2/2/-1)

E2: X (s,t) = (1/2/-3) + s*(2/-2/1) +t*(1/3/2)

Answer 1

E₁: 3x -2y +2z = 13
E₂: 5x -3y +3z =   2

Normalenvektor:
n₁ = (3; -2; 2)
n₂ = (5; -3; 3)
n₁ × n₂ ≠ 0 --> sind nicht linear abhängig --> Ebenen sind nicht parallel --> es gibt eine Schnittgerade

Parameterform:
E₁: 3x -2y +2z = 13
x = r;
y = 3/2*r +s -13/2;   x₁ = r*(1; 3/2; 0) +s*(0; 1; 1) +(0; -13/2; 0);
z = s;

E₂: 5x -3y +3z =   2
x = u;
y = 5/3*u +v -2/3;   x₂ = u*(1; 5/3; 0) +v*(0; 1; 1) +(0; -2/3; 0);
z = v;

Ebenengleichungen gleichsetzen x₁ = x₂:
r*(1; 3/2; 0) +s*(0; 1; 1) +(0; -13/2; 0) =
= u*(1; 5/3; 0) +v*(0; 1; 1) +(0; -2/3; 0);

... liefert
(1) r = u;
(2) r*3/2 +s -13/2 = u*5/3 +v -2/3;
(3) s = v;

(1), (3) in (2):
r*3/2 +s -13/2 = r*5/3 +s -2/3;
r = -35;
u = -35; //aus (1)

In eine Ebenengleichung eingesetzt:
g: x₃ = (-35; -59; 0) +s(0; 1; 1);

 

 

E₁: x₁ = (2; -3; -4) +s*(2; 6; 4) +t*(-2; 2; -1)
E₂: x₂ = (1; 2; -3) +s*(2; -2; 1) +t*(1; 3; 2)

Hessesche Normalform:
n₁ = (2; 6; 4) × (-2; 2; -1) = (-14; -6; 16);
n_1,n = n₁/|n₁| = 1/sqrt(122) * (-7; -3; 8); //normierter Normalenvektor

n₂ = (2; -2; 1) × (1; 3; 2) = (-7; -3; 8);
n_2,n = n₂/|n₂| = 1/sqrt(122) * (-7; -3; 8);

... mit n_1,n alle Vektoren skalar multiplizieren. Alle Richtungsvektoren fallen raus da Skalarmultiplikation mit dem Normalenvektor 0 liefert, da der Normalenvektor senkrecht auf den Richtungsvektoren steht:
n_1,n · x₁ = 1/sqrt(122) * (-7; -3; 8) · (2; -3; -4) = 1/sqrt(122)*(-37);
1/sqrt(122) * (7; 3; -8) * x₁ = 1/sqrt(122) * 37;

n_2,n · x₂ = 1/sqrt(122) * (-7; -3; 8) · (1; 2; -3) = 1/sqrt(122)*(-37);
1/sqrt(122) * (7; 3; -8) * x₁ = 1/sqrt(122) * 37;

==> Die beiden Ebenen sind identisch. Die Schnittmenge ist also wieder die Ebene.

 

Anmerkung:
# Vektoren v sind durch einen Unterstrich gekennzeichnet. Das ist eine gängige Schreibweise, die aber in der Schule nicht verwendet wird (zumindest nicht an meiner).
# Spaltenvektoren werden so dargestellt a = (a₁; a₂; a₃)
# Vielleicht kann man die Aufgaben auch einfacher und effektiver lösen, dann schreibt bitte eine weitere Antwort als Alternative

 

Bei Fragen, Fehlern oder Anmerkungen --> Kommentar.

 

lg JR

Answer 2

Bei 1) geht es wesentlich schneller und einfacher so:

1.)
E₁:  3x - 2y + 2z = 13
E₂:  5x - 3y + 3z = 2

Aus 3*E₁ - 2*E₂ folgt  x = -35.
Einsetzen in E₁ ergibt y = z - 59.

Die Schnittgerade g ist die Punktmenge (-35 | z - 59 | z),

also ist g: v = (-35 -59 0)^T + r*(0 1 1)^T.