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benötige Hilfe bei diesen Aufgaben:

Ich muss den - Entwicklungspunkt

- Konvergenzradius

- Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervalls

bestimmen.

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2{ z }^{ n } }{ n{ 3 }^{ n+1 }-{ 3 }^{ n } }  } $$

und

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { (\frac { 2n+1 }{ n } ) }^{ n } } { z }^{ 2n }$$

Wie geht man hier allgemein vor? Man muss diese ja auf die Form

$$\sum _{ j=0 }^{ \infty  }{ { a }^{ j }(z-{ z }_{ 0 })^{ j } } $$

bringen

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1 Antwort

0 Daumen

Es auf die allgemeine Form zu bringen ist schon eine gute Idee.

Dann sieht man auch dass der Entwicklungspunkt jeweils 0 ist.

Den Konvergenzradius erhält man i.d.R. durch Cauchy-Hadamard oder durch das Quotientenkriterium (die Variante für Konvergenzradien).

Cauchy-had. ist für die zweite Reihe besser (und auch das Verfahren das immer anwendbar ist) für die erste Reihe ist das Quot.kriterium einfacher.

Die Punkte am Rand das Konvergenzintervalls muss man separat als Reihen betrachten.

Avatar von 1,1 k

Bei der ersten Potenzreihe habe ich für den Konvergenzradius = 3 raus.

Nur weis ich jetzt nicht wie ich auf das Konvergenzverhalten komme

Bei der zweiten Potenzreihe weiß ich nicht genau was ich mit dem z^2n anfangen soll. Kann des zwar aufspalten, habe dann aber (z^2-zo)^n. darf man das so stehen lassen oder muss nach Definition das hoch 2 weg?

Bei der zweiten Potenzreihe bekomme ich 1/2 als Konvergenzradius, stimmt dies?

 z^{2n} = (z^2)^n = (z^2 - 0)^2 

Da hast du Entwicklungspunkt zo= 0. 

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