Abkürzung: N := 2n , M = 2n+1 [ wegen des Formeleditors bei Summen ]
zu zeigen: A(n): Für alle n∈ℕ (n≥1) gilt: \(\sum\limits_{k=1}^{N} 1/k\) ≥ 1 + n/2
Basis A(1): \(\sum\limits_{k=1}^{2} 1/k\) = 1 + 1/2 ≥ 1 + 1/2 ist wahr.
Induktionsschluss: A(n) ⇒ A(n+1)
\(\sum\limits_{k=1}^{M} 1/k\)
= \(\sum\limits_{k=1}^{N} 1/k\) + \(\sum\limits_{k=N+1}^{M} 1/k\) [ ≥ 1/2 Edit: ??]
≥IV 1 + n/2 + 1/2 = 1 + (n+1) / 2
Edit: Muss so sein, ist aber nicht so offensichtlich, wie ich zuerst dachte.
@Gast hj2100 hat es aber in seinem letzten Kommentar sehr einleuchtend begründet und damit die Hauptarbeit geleistet:
"Die rote Summe hat mindestens den Wert 1/2, weil k ≤ M ist".
Wegen k ≤ M ist nämlich jeder einzelne Summand 1/k ≥ 1/M und da es davon M-N Stück gibt, ist die gesamte Summe größer oder gleich (M-N)/M = 1/2 .
Ergänzung von mir zur Erinnerung (vgl. 1.Zeile):
(M-N) / M = (2n+1 - 2n) / 2n+1 = 1 - 1/2 = 1/2
Gruß Wolfgang