Lineare Abbildung verstehen

Question

Ich soll die lineare Abbildung
t: K[x]3 -> K[x]4 , p |-> (1+x)*p

nach Basiswahlen durch eine Matrix beschreiben.
Was ist damit gemeint ?
Eine Basis für K[x]3 wäre ja {1,x,x^2,x^3} und für K[x]4 ja {1,x,x^2, x^3,x^4}Wie kann man hier weitermachen ?

Answer 1

Das ist doch schon ganz gut .

wenn du diese Basen nimmst, dann versuche im

Das Bild jedes Basisvektors durch die Basis im Zielraum darzustellen.

Die Koeffizienten bilden dann

die entsprechende  Spalte der Matrix. Etwa so

f( 1) = (1+x)* 1 = 1 + x also 1. Spalte der Matrix

1

1

0

0

0

Dann

f(x) = (1+x)*x = x + x^2 also hast du auch die 2. Spalte

1      0

1     1

0      1

0      0

0      0

dann f(x^2) ) = x^2 + x^3 also kommt die 3. Spalte dazu

1      0      0

1     1       0

0      1       1

0      0       1

0      0       0

entsprechend die 4. dazu gibt

1      0      0      0

1     1       0      0

0      1       1     0

0      0       1      1

0      0       0      1
Das ist die Matrix. Zur Kontrolle, bilde mal
f( a +bx + cx^2 + dx^3 ) nach der Def. der Abbildung
und vergleiche mit dem Produkt
Matrix mal Spalte
a
b
c
d

Dann siehst du im Ergebnis eine Spalte, die
genau die Koeffizienten von f( a +bx + cx^2 + dx^3 )
enthält.

Comments

Ich verstehe die Lösung leider nicht ganz.

Ich bilde ein a aus K[x]3 mit der Matrix auf die Zielmege ab , also :

(a bx cx^2 dx^3) * Abbildungsmatrix =

(a 0 0 0) + (a bx 0 0) + (0 bx cx^2 0) + (0 0 cx^2 dx^3) + (0 0 0 dx^3) = 2 (a bx cx^2 dx^3) und damit sollten wir ja in der Zielmenge K[x]4 sein ; 2 (a bx cx^2 dx^3) ist aber in K[x]3    ?

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Ne, erst mal jedes Basiselement einzeln abbilden, indem du es

mit (1+x) multiplzierst.

Hinterher bei der Kontrolle

Matrix mal Spalte rechnen.

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Wenn ich jedes Basiselement mit (1+x) multipliziere , bekomme ich

(1+x   x+x^2   x^2+x^3    x^3+x^4 )

Und das dann das mit der Matrix verrechnen :

(1+x   x+x^2   x^2+x^3    x^3+x^4 ) * Matrix = 2(1+x  x+x^2  x^2+x^3  x^3+x^4)    ?? 

Ich dachte , mit dieser Abbildungsmatrix ginge es darum, einen Vektor aus der Definitionsmenge in die Zielmenge abzubilden .

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Wenn ich jedes Basiselement mit (1+x) multipliziere , bekomme ich

(1+x   x+x²   x²+x³    x³+x⁴ )
richtig. Und diese Ergebnisse musst du mit der
Basis des Zielraumes darstellen, das wäre bei dem
ersten
1+x = 1*1 + 1*x + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4
und die roten Zahlen bilden die erste Spalte der
Matrix der Abbildung.
Dann machst du das gleiche mit
x+x²   = ...
und erhältst so die Zahlen für die zweite
Spalte der Matrix etc.