Mengen im Komplexen skizzieren: M={1+(i*t)|tєR} und f(M).

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

a) Zeichnen Sie die Menge M={1+(i*t)|tєR}.

b) Sei f:C -> C: z->z². Zeichnen Sie die Mengen f(M) und f(f(M)).

(dabei ist: C=Menge der komplexen Zahlen, R=Menge der reellen Zahlen)

Meine Lösungsansätze:

zu a) Ich denke, dass M eine Gerade ist, mit  x=1 und parallel zur imaginären Achse verläuft.

zu b) Hier weiß ich überhaupt nicht weiter. Vielleicht könnte man 1+(i*t) in z² einsetzen und dann umformen.

Dann hätte man f(M)=1+(2*i*t)-t. Jedoch wüsste ich nicht, wie man das zeichnet.

Danke schon im voraus für die Lösungsvorschläge.

Answer 1

a) hast du korrekt erkannt.

b) f(M) ist eine Menge und deswegen sollte es so aussehen:

$$f(M) = \{ 1-t^2 +2ti | t \in \mathbb{R} \}$$

Somit ist für eine komplexe Zahl $z = a+bi$ mit $z \in f(M)$:

$$a = 1- t^2 \wedge b = 2t, \quad t \in \mathbb{R}$$

Insbesondere gibt es für jeden Imaginärteil $b \in \mathbb{R}$ ein $z \in f(M)$. Der dazu passende Realteil ist:

$$a = 1 - \left(\frac{b}{2} \right)^2$$

Wir können als $f(M)$ als Parabel bezüglich der Imaginärachse einzeichen (das bedeutet im "normalen" Koordinatensystem eine um 90° gedrehte Parabel).

Hier mal die passende Zeichnung:

Plotlux öffnen

x = 1f₁(x) = 2·√(1-x)f₂(x) = -2·√(1-x)Zoom: x(-10…4) y(-10…10)

Die blaue Linie ist $M$ und die grüne und rote Linie beschreiben die Menge $f(M)$.

Gruß

Comments

habe die selbe Aufgabe!die Menge ist klar und f(M) war auch kein Problem, habe allerdings Probleme bei f(f(M)), hast du da vielleicht noch irgendein Tipp?