Mengen im Komplexen skizzieren: M={1+(i*t)|tєR} und f(M).

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

a) Zeichnen Sie die Menge M={1+(i*t)|tєR}.

b) Sei f:C -> C: z->z^2. Zeichnen Sie die Mengen f(M) und f(f(M)).

(dabei ist: C=Menge der komplexen Zahlen, R=Menge der reellen Zahlen)

Meine Lösungsansätze:

zu a) Ich denke, dass M eine Gerade ist, mit  x=1 und parallel zur imaginären Achse verläuft.

zu b) Hier weiß ich überhaupt nicht weiter. Vielleicht könnte man 1+(i*t) in z^2 einsetzen und dann umformen.

Dann hätte man f(M)=1+(2*i*t)-t. Jedoch wüsste ich nicht, wie man das zeichnet.

Danke schon im voraus für die Lösungsvorschläge.

Answer 1

a) hast du korrekt erkannt.

b) f(M) ist eine Menge und deswegen sollte es so aussehen:

$$ f(M) = \{ 1-t^2 +2ti | t \in \mathbb{R} \} $$

Somit ist für eine komplexe Zahl \(z = a+bi \) mit \( z \in f(M)\):

$$ a = 1- t^2 \wedge b = 2t, \quad t \in \mathbb{R}$$

Insbesondere gibt es für jeden Imaginärteil \(b \in \mathbb{R} \) ein \(z \in f(M)\). Der dazu passende Realteil ist:

$$ a = 1 - \left(\frac{b}{2} \right)^2 $$

Wir können als \(f(M)\) als Parabel bezüglich der Imaginärachse einzeichen (das bedeutet im "normalen" Koordinatensystem eine um 90° gedrehte Parabel).

Hier mal die passende Zeichnung:

~plot~x=1; 2*sqrt(1-x);-2*sqrt(1-x); [[ -10 | 4 | -10 | 10 ]]~plot~

Die blaue Linie ist \(M\) und die grüne und rote Linie beschreiben die Menge \(f(M)\).

Gruß

Comments

habe die selbe Aufgabe!die Menge ist klar und f(M) war auch kein Problem, habe allerdings Probleme bei f(f(M)), hast du da vielleicht noch irgendein Tipp?