Zeige, ob für A(n): 1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = (n-1)* 2^{n+1} + 2 gilt

Question

Moin!

Ich würde nur gern wissen, ob ich die Gleichung richtig gelöst habe. Habe zunächst einmal für n=1 beide Seiten ausgerechnet. Links kommt 2 raus, rechts 6.

a) Habe ich richtig gerechnet?

b) D.h. für A(n) ist n=1 nicht richtig - korrekt?

?w

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Ich sehe ich habe

(1-1)*2¹⁺¹+2 = 6

gerechnet. Das Ergebnis ist aber 2 statt 6.

Somit ist n=1 für A(n) richtig.

Answer 1

Dein Induktionsbeginn stimmt ja nun - der Schluss sieht grob skizziert so aus:

$$ 1 \cdot 2^1+2 \cdot 2^2 +3\cdot 2^3+ \cdots + n \cdot 2^n=(n-1)\cdot 2^{n+1} +2 $$
$$( n+1) \cdot 2^{n+1}+(n-1)\cdot 2^{n+1} +2 =(n-1+1)\cdot 2^{n+1+1} +2 $$
$$(( n+1) +(n-1))\cdot 2^{n+1} +2 =(n)\cdot 2^{n+2} +2 $$
$$2 \cdot n \cdot 2^{n+1} +2 =(n)\cdot 2^{n+2} +2 $$
$$2^1 \cdot n \cdot 2^{n+1}  =(n)\cdot 2^{n+2}  $$
$$2^1  \cdot 2^{n+1}  = 2^{n+2}  $$
$$2^2  \cdot 2^{n}  = 2^{n} \cdot 2^{2} $$

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Zitat:
(n+1)⋅2ⁿ⁺¹+(n−1)⋅2ⁿ⁺¹+2=(n−1+1)⋅2ⁿ⁺¹⁺¹+2
Wieso an der Stelle einmal + und einmal - ?  Wozu dieser Schritt?

Answer 2

zu zeigen:  Für alle n∈ℕ (n≥1):   \(\sum\limits_{k=1}^{n}( k·2^k)\)  =  (n-1) • 2ⁿ⁺¹ + 2

Induktionsbasis (n=1):   1 • 2¹ =  0 • 2² + 2  ist wahr

Induktionsschluss: 

\(\sum\limits_{k=1}^{n}( k·2^k)\)  =  (n-1) • 2ⁿ⁺¹ + 2 ⇒   \(\sum\limits_{k=1}^{n+1}( k·2^k)\)  =  n • 2ⁿ⁺² + 2 

Nachweis: 

 \(\sum\limits_{k=1}^{n+1}( k·2^k)\)  =  \(\sum\limits_{k=1}^{n}( k·2^k)\)  + (n + 1) • 2ⁿ⁺²  

=_IV   (n - 1) • 2ⁿ⁺¹ + 2 + (n + 1) • 2ⁿ⁺²  

=  2ⁿ⁺¹ • ( n -1 + n+1) + 2  = 2ⁿ⁺¹ • 2 • n + 2  =  2ⁿ⁺² • n + 2 

Gruß Wolfgang