Kreisgleichung Formel erstellen und Eigenschaft zeigen

Question

Zeigen Sie mit quadratischer Ergänzung, dass der Graph einer Gleichung

x² + ax + y² + bx + c = 0

immer entweder ein Kreis ist oder so degeneriert, dass es keinen reellen
Graphen gibt. Leiten Sie außerdem Formeln für den Radius r und Mittelpunkt
M des Kreises her.

x² + ax +(a/2)^2 + y² + bx+(b/2)^2 + c = 0

(x+(a/2))^2 + (y+(b/2)^2) =-c +(a/2)^2+(b/2)^2

So jetzt weiß ich leider nicht weiter...

Answer 1

Hi,
als erstes muss die Ausgangsgleichung richtig gestellt werden, sie muss lauten

\( x^2+ax+y^2+by+c = 0 \)

Als nächstes musst Du die quadratischen Ergänzungen nicht nur zuzählen sondern auch wieder abziehen, sonst veränderst Du ja den Ausdruck. Nur wenn Du eine Null zuzählst bleibt alles wie gehabt.

Dannn steht das Ergebnis ja schon da.

\( x_M = \left( -\frac{a}{2} |  -\frac{b}{2}  \right) \) und

\( r = \sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 -c } \)

Der Ausdruck unter der Wurzel muss größergleich Null sein, also \( a^2+b^2\ge 4c \), ansonsten hat man keinen reellen Graphen.

Comments

Danke, hat mir bereits sehr weitergeholfen.

Ich verstehe allerdings nicht so ganz, was du damit meinst: "Als nächstes musst Du die quadratischen Ergänzungen nicht nur zuzählen sondern auch wieder abziehen, sonst veränderst Du ja den Ausdruck. Nur wenn Du eine Null zuzählst bleibt alles wie gehabt. "

Ich addiere auf beiden Seiten und dann blebt der Ausdruck doch äquivalen oder? Ist es so korrekt?

x² + ax +(a/2)² + y² + by+(b/2)² + c = 0 +(a/2)²+(b/2)²

(x+(a/2))² + (y+(b/2)²) =-c +(a/2)²+(b/2)²  

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Du hattest folgendes geschrieben, Deine erste Gleichung

$$  x^2 + ax +(a/2)^2 + y^2 + bx+(b/2)^2 + c = 0 $$

und das ist die quadratische Ergänzung nicht abgezogen. In der zweiten Gleichung stimmst wieder.