Rationale Folgen Oberschranken

Question

Seien x, y∈ R (reelle Zahlen) definiert als kleinste Oberschranken von den streng wachsenden, beschränkten rationalen Folgen {x_n}_n∈N   {y_n}_n∈N .Sind folgende Behauptungen äquivalent zu x>y?

(i)  ∃k ∈ N ∀n ∈ N  x_k > y_n

(ii) ∀n ∈ N ∃k ∈ N  x_k > y_n

 Beweisen oder widerlegen Sie die Aussagen.

Answer 1

(i) ist äquivalent zu \( x > y\) (mit Definitionen zeigen, insbesondere die Eigenschaft streng wachsend ausnutzen)

und (ii) nicht (Gegenbeispiel).

Gruß

Comments

Könntest du vielleicht nochmal genauer darauf eingehen?

Ich verstehe es einfach nicht :/

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Grundgedanke zu (i):

Ist \(x > y \) so ex. \( x_k > y \).

Auf der anderen Seite, wenn \( x_k > y_n \) für alle \(n \in \mathbb{N}\) muss \(x_k > y \) sein.

Mach dir Gedanken dazu und versuche den Beweis zu führen.

zu (ii): Für die Rückrichtung betrachte für die Folge \(\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) die Folge \( \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) deren Glieder definiert sind durch: \(x_n := y_{n+1} \).