Überprüfen die Funktion auf Surjektivität und Injektivität

Question

Hallo

ich muss diese Funktion:

f: ℝ\ {a}→ℝ mit f(x)= (x+a)/(x-a) 

auf Surjektivität und Injektivität überprüfen

will mir jemand dabei helfen?

Dankeschön

Comments

Klar wie weit bist du denn?

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nicht weit ich weiß nicht wie ich das anfangen soll?

Answer 1

ich muss diese Funktion:

f: ℝ\ {a}→ℝ mit f(x)= (x+a)/(x-a) 

auf Surjektivität und Injektivität überprüfen

sei   f( u) = f(v) also

(u+a)/(u-a)  =  (v+a)/(v-a) 

(u+a)*(v-a)  =   (v+a)*(u-a) 

uv + av - au - a^2 = uv + au - av - a^2

av - au  =  au - av 

a ( v-u) = a (u-v) falls a ≠ 0 ist also

v-u = - ( v-u)

2 * (v-u) = 0

v-u = 0

v = u

also ist f für  a ≠ 0 injektiv. Für a=0 ist f(x) = 1 für alle x, also nicht inj.

surj ?   für a=0 sicher nicht .

ansonsten auch nicht denn f(x) = 1

würde auf x+a = x-a führen, also

a = -a also a=0.

Also gibt es für a ≠ 0 nie den Funktionswert 1, also nicht surj.

Comments

habe trotztem eine fragewarum steht es da   v-u = - ( v-u)   ein minus ? und warum bei a=0 ist es nicht surjektiv?

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warum steht es da   v-u = - ( v-u)   ein minus ? 

in der Zeile vorher stand rechts

=  a (u-v)  alos erst mal durch a gibt

= u - v  und um das mit dem Term auf der anderen

Seite verrechnen zu können habe ich daraus

=  - (v - u) gemacht; denn die sind gleich.

und warum bei a=0 ist es nicht surjektiv?

für a=0 ist doch f(x)=1  .

Das heißt, es gibt immer nur den Funktionswert 1,

bei surjektiv müssten aber alle y aus IR als

Funktionswert vorkommen.

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Ja aber bei a=0  wird die Funktion zu Grade y=1 es gibt also dann kein anderen wert von y  jeder x haT genau gleichen Funktionsterm 1. Ich hätte also gedacht das es surjektiv ist.

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surjektiv hängt immer davon ab, welche Menge als Zielmenge

beid der Def. der Funktion angegeben ist.

Hier ist es f: ℝ\ {a}→ℝ   also müssen alle

Elemente von ℝ auch als y-Werte vorkommen.