Zeigen, dass die Menge G x H mit der Verknüpfung ... eine Gruppe ist

Question

Es seien (G, ✶) und (H, ◊) Gruppen. Zeigen Sie, dass dann die Menge G x H mit der Verknüpfung

(g₁, h₁)?(g₂,h₂) := (g₁ ✶ g₂, h₁ ◊ h₂) auch eine Gruppe ist.

Wie zeige ich das? Ich verstehe die Verknüpfung nicht und wozu dient das ? zwischen (g₁, h₁) und (g₂,h₂).

Comments

Das ? ist deine Verknüpfung auf GxH.

Und man zeigt das indem man nachweist/rechnet das (GxH,?) die Gruppenaxiome erfüllt.

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Ich versteh das immer noch nicht. Was ist denn mit G x H gemeint?

Kannst du mir ein Beispiel geben wo (GxH,?) ein Gruppenaxiom erfüllt?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt und der andere Wunsch wurde dir ja bereits erfüllt.

Answer 1

(GxH,?) erfüllt die Gruppenaxiome:

und ? ist wohldefiniert, denn die Elemente von GxH sind

ja Paare mit 1. Komp. in G und 2. Komp. in H. Für je zwei solche Paare

wird die Verknüpfung ? durch Komponentenweise Verknüpfung in den

ursprünglichen Gruppen definiert. Das Ergebnis ist also wieder

ein Paar aus GxH.

assoziativ  ( (  a1,b1 ) ? ( a2,b2 ) ) ? ( a3 , b3 )

                  = ( a1*a2 , b1  ◊ b2 ) ? ( a3 , b3 )

                 = ( (a1*a2) * a3 , ( b1  ◊ b2 )   ◊ b3 )

und wegen der Assoziativität in den "alten " Gruppen 

=    ( a1*(a2 * a3) , b1  ◊ (b2    ◊ b3 ) ) 

= ( a1,b1) ? (a2 * a3  , b2    ◊ b3 )

=
   (  a1,b1 ) ? ( ( a2,b2 ) ) ? ( a3 , b3 )

und dann zeigst du noch:  neutr. El ist das Paar ( e_G  ,  e_H  )

und invers zu (a,b) ist das Paar mit den Inversen von a bzw. von b

als Komponenten.