Existenz der Inversen zeigen. Dreiecksmatrix

Question

Untersuchen sie , welche der folgenden Matrizen eine Inverse besitzen. Berechnen sie im Falle der Existenz die Inverse

0  -1                         3  2                         1   9

i) A=  1  0             ii)   A=  6  4            iii)   A=   1  1

a  b  c

b) Es sei A=    0  d  e      eine obere Dreiecksmatrix mit a,d,f ≠0

Zeigen sie: Die Inverse A^-1 existiert und ist ebenso wie A obere Dreiecksmatrix

c) Es sei A∈ Mat_nxn(R) eine Diagonalmatrix d.h. alle Einträge ausserhalb der Diagonalen sind Null. Welche Bedingung ist an die Diagonalelemente a₁₁..........a_nn zu stellen, damit die Matrix A invertierter ist?

Geben sie für diesen Fall eine Inverse A^-1 an.

0  0  f

Comments

Deine Matrizen sind mitunter sehr schwer zu lesen. z.B. in der b) seh ich eine 2x3- Matrix, also nicht quadratisch und damit per se nicht invertierbar. Vermutlich fehlt da also was.

Schau mal rechts neben dem Post. Da ist eine Leiste unter anderem mit dem Formeleditor.

Was für Möglichkeiten zum Überprüfen der Invertierbarkeit habt ihr denn schon? Determinanten z.B. ? Habt ihr eine Formel für Inverse von 2x2-matrizen gemacht?

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siehe Antwort.

Answer 1

2x2 Matrizen haben immer eine Inverse,

wenn nicht die eine Zeile ein Vielfaches der anderen ist

wie hier im Falle ii)

zu b siehe Kommentar

c) keines der Diagonalelemente darf 0 sein und die

Inverse hat in der Diagonalen die Kehrwerte der

ursprünglichen Diag.Elemente.

Comments

Aber wie zeigt man es rechnerisch in a)?

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wenn

a  b

c   d

eine Matrix ist, dann gilt   M ^-1 =

1 / ( ad - bc) * Matrix

d   -b

c   a

ist die Inverse. Zeigst du, indem du beide multiplizierst

und dann begründest:

Das geht aber nur, wenn  ad - bc ungleich 0 ist.

was immer der Fall ist, wenn nicht

a=x*c und b=x*d .