Sei (an) eine reelle Folge mit an > 0. Zeigen Sie, dass an →−n 0 äquivalent ist zu 1 →−n ∞.

Question

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Könnte mir wer das beweisen?

Sei (an) eine reelle Folge mit an > 0. Zeigen Sie, dass an →−n 0 äquivalent ist zu 1 →−n ∞. 

Comments

Aha, was soll das heißen?

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Hier ist die Aufgabe nochmal

Answer 1

Hi,
angenommen die Folge \( \frac{1}{a_n} \) konvergiert nicht gegen \( \infty \), dann bedeutet das, dass es eine Konstante \( M \in \mathbb{R} \) geben muss, s.d. gilt \(  0 < \frac{1}{a_n} < M \). Da \( a_n \) eine Nullfolge ist, gibt es ein \( n(\epsilon) \in \mathbb{N} \), s.d. für jedes \( \epsilon > 0 \) gilt, \( 0 < a_n < \epsilon \)

Wähle \( \epsilon = \frac{1}{M} \), dann gilt \( \frac{1}{ a_n } > M \) im Gegensatz zur Annahme. Also konvergiert die Folge gegen \( \infty \)

Answer 2

für \(\varepsilon >0\) gibt es  ein \(N \in \mathbb{N} \), so dass \(a_n< \frac{1}{\varepsilon} \) für alle \( n \geq N\).

Betrachte mal scharf die Ungleichung und überlege dir warum du mit einer einzigen Umformung theoretisch schon fertig bist.

Gruß