Rekursive Folge Vollständige Induktion (Probleme beim Induktionsanfang und was ich zeigen muss

Question

Sein (a_n)_n≥0 eine Folge definiert durch a₀=0, a₁=1 und a_n+2 :=a_n+1-(1/4)*a_n

Dann glit für alle n∈ℕ_≥0      a_n=n*(1/2)^{n-1}

Also:

Beh.:

a₀=0, a₁=1, a_n+2 :=a_n+1-(1/4)*a_n ⇒ a_n=n(1/2)^{n-1}

(IA) a₀ = 1 - (1/4)*0=1=0*(1/2)^{0-1}      würde nicht stimmen

Z.z.: a_n+1=a_n-(1/4)*a_n-1  =(n+1)*(1/2)^n ???

(IS) kriege ich vemutlich selbst hin

Answer 1

die rekursive Definition kannst du erst für \(a_2\) verwenden. \(a_0 = 0\) und somit ist der Induktionsanfang für \(n=0\) wahr. Mach noch den IA für \(n=1\) und dann den IS.

Gruß

Comments

a₀=0, a₁=1, a_n+2 :=a_n+1-(1/4)*a_n ⇒ a_n=n(1/2)^n-1

(IA 1.) a₁ = a₂ - (1/4)*1=?=1*(1/2)^1-1 ...mit n=1 geht doch gar nicht, da wir a₂ nicht kennen, oder?

(IA 2. )a_{2 bzw. n+2} = 1(bzw. n+1) - (1/4)*0(bzw. a_n ) =1=2*(1/2)^1=1   Beh. gilt für n=0
Ist IA 2. richtig?

Ist mein zu zeigen korrekt?
Z.z.: a_n+1=a_n-(1/4)*a_n-1  =(n+1)*(1/2)ⁿ

---

Ich hab dir doch in der Antwort schon geschrieben, dass die rekursive Definition erst ab \(a_2\) zu gebrauchen ist.

Der Induktionsanfang sieht so aus:

$$ a_0 = 0 = 0 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{-1} \\ a_1 = 1 = 1 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^0$$

Ja das ist dein IS. Verwende die IV für \(a_n\) und für \(a_{n-1} \).

---

Muss ich mir mein a_n-1 erst selbst basteln, wenn ja, ist es so richtig  a_n-1=(n-1)(1/2)^n-2 ?

---

Was meinst du mit selbst basteln? Das wäre die IV für \(a_{n-1} \).

---

(IV) ∃ n ∈ ℕ, n≥0 : a_n-1=(n-1)(1/2)^n-2 und a_n=n(1/2)^n-1
Hoffentlich letzte Frage ist der IV jetzt richtig ? Danke, für die Hilfe.

---

Ja ist in Ordnung.

---

Verdammt

Nachdem ich die IV eingesetzt habe

.....=n(1/2)^n-1 - (1/4) (n-1)(1/2)^n-2 = n(1/2)^n-1 - (1/4) (n-1)*(1/2)(1/2)^n-1 I ausklammern

= (1/2)^n-1 ( n-(1/4) (n-1)(1/2))

= (1/2)^n-1  (n-(n/8) +(1/8))           

Irgendetwas habe ich falsch gemacht :(

---

Deine erste Umformung ist bereits falsch.

$$ n \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} - \frac{1}{4}(n-1)  \left( \frac{1}{2} \right)^{n-2}  = 2n  \left( \frac{1}{2} \right)^n-(n-1)  \left( \frac{1}{2} \right)^n $$

Ab hier kommst du bestimmt selbst zum Schluss.