Komplexe Zahlen. Zeige: Falls |z|=1, so gibt es u € C \ {0} mit z = u^{quer}/u

Question

Zu jeder komplexen Zahl \( z \in \mathbb{C} \) mit \( |z|=1 \) gibt es ein \( \zeta \in \mathbb{C} \backslash\{0\} \) mit \( z=\bar{\zeta} \).

Comments

Womit kommst du nicht weiter?

Sollst du b) beweisen?

Hast du den Ansatz

z = (a - ib) / ( a + ib)

durchgespielt ?

Answer 1

|z|=1 ⇒   z = e ^i*φ  und    φ ist der Winkel zwischen z und der pos. reellen Achse.

ςquer /  ς = z heißt    ςquer =  ς *z  . Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen mit dem Betrag 1

werden lediglich die Winkel zur pos. reellen Achse addiert.

Wenn also bei ς *z  als Ergebnis  ςquer rauskommen soll

( ςquer entsteht ja durch Spiegelung von ς an der reellen Achse ) musst du

für  ς etwas nehmen, was  den halben Winkel (mit umgekehrtem Vorzeichen) von z hat,

hier also  ς  = e ^-i*o,5*φ 

Dann ist  ςquer  = e ^i*o,5*φ 

Also ςquer / ς = e ^i*o,5*φ   / e ^-i*o,5*φ = e ^i*φ = z .