Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Funktionen, falls existent: Bsp. f(x,y)= |x|e^y

Question

ich bin neu hier uns komme mit einer Aufgabe nicht weiter und zwar:

Berechnen Sie die partielle Ableitungen der folgenden Funktionen, falls existent:

f(x,y) = x²y-y³

f(x,y)= |x|e^y

f(x,y)= log (x²+y²)

meine Frage ist nun dieser Teil "falls existent" muss ich ja erst mit links- und rechtsseitigen Grenzwert

berechnen bevor ich dann partielle ableite aber ich komme leider nicht auf das berechnen der Grenzwerte,

kann mir vielleicht einer helfen? Wäre super

 

Grüße Nadine

Comments

Ich hätte noch eine frage und zwar bei folgender Funktion: f (x)=|x| soll ich die partielle ableitung und die richtungsableitung bestimmen in x=0 falls existent. Die partielle ableitung gibt es ja wieder nicht wenn ich eine Grenzwert Betrachtung durchführe sehe ich das richtig? Und wie muss ich bei der richtungsableitung vorgehen? Grüße

Answer 1

Hallo Nadine,

  ich versuche mich einmal. Partitiell ableiten heißt ja : ich habe eine Funktion mit zwei Variablen f(x,y) und führe zwei Ableitungen durch indem ich 1 Variable als Konstante ansehe

  f(x,y) = x²y-y³ ( zur Kontrolle  x hoch 2 mal y  minus  y hoch 3 )

  1.) y wird als fest angesehen

  f´(x) = y * x

  2.) x wird als fest angesehen

  f´(y) = x^2 - 3*y^2

  ============================
  f(x,y)= |x|e^y

  a:) x > 0

  1.) f´(x) = e^y

  2.) f´y) = x * e^y

  b.) x < 0 : f(x,y) = -x * e^y

  1.) f´(x) = -e^y

  2.) f´(x) = -x * e^y

  ============================

  Bei der 3. Funktion kann ich leider nicht weiterhelfen

  mfg Georg

  bei Fragen oder Fehlern bitte melden.

 

Comments

Danke dir, soweit war mir das auch klar ich habe nur ein Problem vor dem partiellen ableiten zu zeigen dass es eine solche partielle Ableitung gibt und das muss ich mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert machen, kannst du mir auch mit dem Grenzwert helfen?

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Erster Teil:

f'(x,y)_x=2xy

;)

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Letzter Teil

f_x=2x/(x^2+y^2)

f_y=2y/(x^2+y^2)

 

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vielen Dank dir!

aber nun nochmal zu dem Grenzwert berechnen, kann mir da auch einer helfen?

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(In der Hoffnung georgborn nicht vorwegzugreifen)

Um ehrlich zu sein, hatte ich noch nie das Problem mich mit Existenzen rumzuschlagen^^.

 

 

Aber für die a) und die c) krieg ich, denk ich, eine recht sichere Aussage hin:

a) Ist existent. Wir haben keine Problemstellen. Insbesondere keine Polstellen.

c) Hier müssen wir x^2+y^2>0 fordern. Das einzige Problem für f ist also f(0,0).

f(0,0)_x=lim_h->0-0 (f(h,0)-f(0,0))/h=∞

f(0,0)_x=lim_h->0+0 (f(h,0)-f(0,0))/h=-∞

 

y brauchts dann schon gar nicht mehr zu kontrollieren.

An der Stelle f(0,0) nicht partiell differenzierbar.

 

 

Bei der b) kann ich leider überhaupt keine Aussage treffen ;/.

 

Grüße

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Bei b) kannst du den 3D-Plot bei https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29%3D+%7Cx%7Ce%5Ey ansehen.

Du musst dir überlegen, ob die Ableitung aus allen Richtungen immer gleich ist. An Stellen in denen die Teilfunktionen und ihre Verknüpfungsart differenzierbar ist. Die grösssten Schwierigkeiten zeigen sich bei x=0. Weil dort |x| nicht differenzierbar ist. An den übrigen Stellen sollte die Funktion differenzierbar sein. Du hast ja die Ableitungen ausgerechnet und in ihnen so weit ich sehe keine Unstetigkeitsstellen.

Überleg dir das aber noch selbst genau.

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für b.) gilt

    für die Ableitung nach x gilt
      x > 0 : f´(x) = e^y
      x < 0 : f´(x) = -e^y

      Für x = 0 ist f´ nicht definiert . Außerdem Vorzeichenwechsel bei der Annäherung an x = 0 von links und von rechts : also nicht differenzierbar.

  mfg Georg

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Ich hätte noch eine frage und zwar bei folgender Funktion: f (x)=|x| soll ich die partielle ableitung und die richtungsableitung bestimmen in x=0 falls existent. Die partielle ableitung gibt es ja wieder nicht wenn ich eine Grenzwert Betrachtung durchführe sehe ich das richtig? Und wie muss ich bei der richtungsableitung vorgehen? Grüße

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da ich gerade online bin antworte ich dir einmal schnell.

f(x) = lxl

Die Funktion hat nur 1 Variable. Partielle Ableitungen können nur bei Funktionen mit 2 Variablen
f(x,y) durchgeführt werden.

 Richtungsableitung : ist damit die Steigung gemeint ?

  x < 0 : f(x) = -x   => f´(x) = -1

  x > 0 : f(x) = x   => f´(x) = 1

  Die Steigung links von null ist -1, die Steigung rechts von null ist 1. Für null ist die Steigung nicht
definiert.

  Damit wäre f(x) = lxl für null nicht differenzierbar.

  mfg Georg

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Also in der Mathematik ist dieRichtungsableitung einer von mehreren Variablen abhängigen Funktion die momentane Änderungsrate dieser Funktion in einer durch einen Vektor vorgegebenen Richtung. Ist das dann die steigung eigentlich schon oder?

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Nach dieser Definition wäre dann die Steigung in Richtung + die 1, die Georgborn berechnet hat. und die Steigung in Richtung - ist dann -1. Meist verwendet man da so was wie Limes→0+ resp.→0- von f'.
Und da die Richtungsableitungen in verschiedene Richtungen ungleich sind, existiert die Steigung in 0 nicht.

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deine Fragen ergeben eigentlich nur einen Sinn für eine Funktion die von 2 Variablen abhängig ist.

z.B. f(x,y) = lxl * e^y

mfg Georg

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Ok danke jetzt habr ich soweit alles verstanden, danke fürs antworten.