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Sei V ein K-Vektorraum mit der Dimension n > 1: Welche der folgenden
Aussagen sind stets wahr?

c) Wenn eine Anzahl von linear abhängigen Vektoren aus V gegeben ist,
so kann der erste dieser Vektoren als Linearkombination der übrigen
dargestellt werden.
Korrekt, aufgrund der Definition von linearer Abhängigkeit.

e) Wenn eine Anzahl von n-1 Vektoren aus V gegeben ist, so sind diese
lineare abhängig.
f) Wenn eine Anzahl von n Vektoren aus V gegeben ist, so sind diese
linear unabhängig.
g) Wenn eine Anzahl von n+1 Vektoren aus V gegeben ist, so sind diese
linear abhängig.

h) V ist ein Teilraum von V .

Ja, wenn mit Teilraum, ein Untervektorraum von V gemeint ist.

j) Es gibt genau n verschiedene Basen von V .

Ja, es gibt normalerweise unendlich viele Basen, sie müssen nur linear unabhängig sein und ein Erzeugendensystem von V darstellen.

Ich habe Probleme bei e)-g) , dort kann man doch kein alg. Aussage treffen oder?
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1 Antwort

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c) ist ok.

e) und f) sind falsch.

g) ist wahr.

h) du musst schon Wissen was eure Definition eines Teilraumes ist.

j) ist falsch.

Gruß

Avatar von 23 k
e-g) Beispiel und Gegenbeispiele:


n-1 wäre ((1,0)), also nicht linear abhängig oder kann ein Vektor linear abhängig von sich selbst sein?
n wäre bspw. ((1,0),(1,1)) nicht linear unabhängig
n+1 wäre bspw. ((1,0),(0,1), (1,1)) also linear abhängig
zu j)
Nehmen wir die Basis von ℝ^2 ((1,0),(0,1)), diese könnte man doch genauso gut als ((x,0),(0,y) beschreiben und somit gebe es doch unendlich viele Basen, da man x,y beliebig wählen kann.

Verstehe deine Gegenbeispiele zu e) und f) nicht.

e) Wenn die Dimension n ist, dann gibt es eine Basis mit n Vektoren. Nimm dir n-1 davon, diese sind linear unabhängig.

f) Nimm dir einen Vektor und bilde zu diesem n-1 verschiedene vielfache. Offensichtlich sind die Vektoren linear abhängig.

g) Hier reicht nicht ein Beispiel, das ist eine allgemein gültige Aussage. Gäbe es n+1 linear unabhängige Vektoren so kann die Basis nicht aus n Vektoren bestehen und die Dimension nicht n sein.

und ja \(\mathbb{R}^2\) hat unendlich viele Basen.

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