Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume sind stets wahr?

Question

Sei V ein K-Vektorraum mit der Dimension n > 1: Welche der folgenden
Aussagen sind stets wahr?

c) Wenn eine Anzahl von linear abhängigen Vektoren aus V gegeben ist,
so kann der erste dieser Vektoren als Linearkombination der übrigen
dargestellt werden.
Korrekt, aufgrund der Definition von linearer Abhängigkeit.

e) Wenn eine Anzahl von n-1 Vektoren aus V gegeben ist, so sind diese
lineare abhängig.
f) Wenn eine Anzahl von n Vektoren aus V gegeben ist, so sind diese
linear unabhängig.
g) Wenn eine Anzahl von n+1 Vektoren aus V gegeben ist, so sind diese
linear abhängig.

h) V ist ein Teilraum von V .

Ja, wenn mit Teilraum, ein Untervektorraum von V gemeint ist.

j) Es gibt genau n verschiedene Basen von V .

Ja, es gibt normalerweise unendlich viele Basen, sie müssen nur linear unabhängig sein und ein Erzeugendensystem von V darstellen.

Ich habe Probleme bei e)-g) , dort kann man doch kein alg. Aussage treffen oder?

Answer 1

c) ist ok.

e) und f) sind falsch.

g) ist wahr.

h) du musst schon Wissen was eure Definition eines Teilraumes ist.

j) ist falsch.

Gruß

Comments

e-g) Beispiel und Gegenbeispiele:


n-1 wäre ((1,0)), also nicht linear abhängig oder kann ein Vektor linear abhängig von sich selbst sein?
n wäre bspw. ((1,0),(1,1)) nicht linear unabhängig
n+1 wäre bspw. ((1,0),(0,1), (1,1)) also linear abhängig
zu j)
Nehmen wir die Basis von ℝ^2 ((1,0),(0,1)), diese könnte man doch genauso gut als ((x,0),(0,y) beschreiben und somit gebe es doch unendlich viele Basen, da man x,y beliebig wählen kann.

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Verstehe deine Gegenbeispiele zu e) und f) nicht.

e) Wenn die Dimension n ist, dann gibt es eine Basis mit n Vektoren. Nimm dir n-1 davon, diese sind linear unabhängig.

f) Nimm dir einen Vektor und bilde zu diesem n-1 verschiedene vielfache. Offensichtlich sind die Vektoren linear abhängig.

g) Hier reicht nicht ein Beispiel, das ist eine allgemein gültige Aussage. Gäbe es n+1 linear unabhängige Vektoren so kann die Basis nicht aus n Vektoren bestehen und die Dimension nicht n sein.

und ja \(\mathbb{R}^2\) hat unendlich viele Basen.