Ist f auf ganz R differenzierbar und f' stetig

Question

definiere $$f:\mathbb{R}-> \mathbb{R}$$ durch

Zeige, dass f(x) auf ganz R differenzierbar ist und bestimme f'(x). Ist f'(x) eine stetige Funktion?

Answer 1

für x ≠ 0 ist alles diffb. und stetig.

bei x=0 gilt

(f(0+h) - f(0) ) / h

= h^2 * cos(1/h)  /  h  

= h*cos(1/h)  und für h gegen 0 ist das = 0 ,

wel cos beschränkt ist.

Also diffb. bei x=0 mit f ' (0) = 0 .

da diffb bei x=0 ist es dort auch stetig.

f ' (x) =     2x*cos(1/x)  + sin (1/x)     für  x≠0

0         für x=0

Ist nicht stetig bei x=0, da z.B. für die Folge xn = 2 / (pi * n) bei f ' (xn) keine

Nullfolge entsteht.