Konvergenz bzw. Divergenz der Reihen beweisen. Bsp. Summe von √(n^2 + 5n)- √(n^2+2))

Question

Comments

bei a) kannst du die Fakultäten folgendermasssen wegkürzen:

(n+1)! / (n+3)! = 1/((n+2)(n+3))

Du sollst Partialsummen ausrechnen. D.h. jeweils die Folgenglieder nummer n=0 bis nummer n=k addieren.

Man kann vermutlich Teleskopsummen aus (einem Teil der) Summen machen. Prüfe das.

Answer 1

für d) ist es sicher hilfreich, die Summanden als Brüche mit dem Nenner 1

zu denken und dann mit √(n^2 + 5n ) + √(n^2 + 2 ) zu erweitern, das gibt

für die Summanden

( 5n-2) / (   √(n^2 + 5n ) + √(n^2 + 2 ) )

≥ ( 5n-2) / (   √(n^2 ) + √(n^2 ) )  denn kleinerer Nenner heißt ja größerer Bruch

= ( 5n-2) / (  2n)

= 2,5 - 2/n und  für n>2 gilt

≥ 1,5

Aber eine Summe, bei der (nach den ersten paar Summanden)

alle anderen größer als 1,5 sind divergiert.