Rekursive Folge mit vollständiger Induktion

Question

hallo zusammen,

habe folgendes Problem:

Sei an eine Folge, die rekursiv definiert ist  durch a₁=0

a_n+1= $$ (\frac { { a }_{ n } }{ 2 } )² $$

Zeigen sie mit vollständiger Induktion, dass a_n≤2 ∀n∈ℕ

Ich würde so anfangen:

IA: (A1) gilt. Mit a₁=0 und für n=1 folgt:

a₂=(0/2)² +1 =1 =1≤2

IV: 0≤a_n≤2          [da a₁=0 und Grenzwert=2]

IS: hier weiß ich nicht weiter; habe in einem Video gesehen, dass man sagt:

0≤a_n≤2 und dann auflöst, dass 0≤a_n+1≤2 dasteht, habe ich aber nicht hinbekommen

Answer 1

$$\text{IS: }a_{n+1}=\left(\frac{a_n}2\right)^{\!2}+1<\left(\frac22\right)^{\!2}+1=1^2+1=2.$$

Comments

setzt du für a_n in den rechten teil der Ungleichung dann einfach die obergrenze für das Intervall ein? [0;2]