Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für eine rekursive Folge (an) gilt: an = Summe von (1/100)^k

Question

Aufgabe:

Gegeben war eine rekursive Folge a_n = \( \frac{1}{100} \)  a_n−1 + 1 mit a₀ = 1 für alle n ≥ 1.
Jetzt sollte man mit vollständiger Induktion zeigen, dass für alle n ≥ 0 gilt:
a_n =\( \sum\limits_{n=0}^{n}{(\frac{1}{100})^{n}} \) ist.

Problem/Ansatz:

geg: \( a_{0}: 1 \quad, \quad a_{n}=\frac{1}{100} a_{n-1}+1 \quad \forall n \geqslant 1 \)
\( z z \quad a_{n}=\sum \limits_{n=0}^{n}\left(\frac{1}{100}\right)^{k} \)
IA: \( n=0 \)
\( a_{0}=\sum \limits_{n=0}^{0}\left(\frac{1}{100}\right)^{0}=1 \)
IV:für bel. aber festes n ∈ ℕ gilt a_n =\( \sum\limits_{n=0}^{n}{(\frac{1}{100})^{k}} \)
IS: \( n \rightarrow n+1 \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{n=0}^{n+1} &\left(\frac{1}{100}\right)^{n}+\left(\frac{1}{100}\right)^{n+1} \\ a_{n+1} &=\frac{1}{100} a_{n}+1 \\ & \stackrel{IV}{=} \frac{1}{100} \sum \limits_{n=0}^{n} \left(\frac{1}{100}\right)^{n}+1 \\ &=\sum \limits_{n=0}^{n}\left(\frac{1}{100}\right)^{n+1}+1 \end{aligned} \)

Das wär jetzt mein Ansatz gewesen, aber ab da komm ich nicht weiter bzw. weiß ich nicht wo mein Fehler ist, da ich von dort ja nicht auf\( \sum\limits_{n=0}^{n}{\left(\frac{1}{100}\right)^{n}+\left(\frac{1}{100}\right)^{n+1}} \) komme.

Comments

\( \sum\limits_{n=0}^{n}{(\frac{1}{100})^{n}} \)

Ich blick da nicht durch, da kommen mit viel zu viele \(n\) vor,

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Upps, sorry. Sollte eigentlich von k=0 nach n mit (1/100)^k sein. Hab die Bild in Text Funktion genutzt und die kann meine n und k's wohl nicht unterscheiden ':D

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Nimm vielleicht eine Indexverschiebung vor:
\(\displaystyle a_{n+1}=1+\sum_{k=0}^n\left(\frac1{100}\right)^{k+1}=\left(\frac1{100}\right)^0+\sum_{k=1}^{n+1}\left(\frac1{100}\right)^k=\sum_{k=0}^{n+1}\left(\frac1{100}\right)^k\).

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Die Frage wurde bereits zweimal gestellt.

:-)

Answer 1

Mit der Indexverschiebung klappt es doch !