Zeigen Sie, dass die Funktionen Dichtefunktionen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ℝ sind und Verteilungsfunktion.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Funktionen Dichtefunktionen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf \( \mathbb{R} \) sind und berechnen Sie die Verteilungsfunktion.

a) Weibull-Dichte mit Shape-Parameter \( \alpha>0 \) und Skalenparameter \( \sigma>0 \) :

\( f(x)=\frac{\alpha}{\sigma}\left(\frac{x}{\sigma}\right)^{\alpha-1} \exp \left(-\left(\frac{x}{\sigma}\right)^{\alpha}\right) 1_{(0, \infty)}(x) \)

b) Standard-Cauchy-Dichte:

\( f(x)=\frac{1}{\pi} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)} \)

Answer 1

Hi,
das Integral $$ \int_0^\infty \frac{\alpha}{\sigma}\left( \frac{x}{\sigma} \right)^{\alpha-1} e^{-\left( \frac{x}{\sigma} \right)^\alpha } dx $$ kann man mit der Transformation \( z = \left( \frac{x}{\sigma} \right)^\alpha \) auf die Form $$ \int_0^\infty e^{-z}dz = 1 $$ bringen, was Aufgabe 15a löst.

Bei 15b sollte man wissen das \( \arctan(x) \) Stammfunktion von \( \frac{1}{1+x^2} \) ist und \( \lim_{x\to\pm\infty}\arctan(x) = \pm \frac{\pi}{2} \) ist. Damit ergibt sich sofort \( \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx = 1 \)