Kann mir jemand die Monotonie erklären?

Question

Ich habe öfters in Mathe gefehlt, weil ich krank war und kenne mich nicht so sehr aus.

Es geht um Reelle Zahlenfolgen, Folgen, also beschränkte Folgen, Monotonie von Folgen und Grenzwerte.

Kann mir das jemand erklären, aber bitte einfach

z.B.     beweise, dass die Folge streng monoton wächst: an= (3n-1)/(2n)  (das n sollte unter dem a sein)

Prüfe, ob die angegebenen Werte obere Schranken(?) für die jeweiligen Folgen sind:

2; 5/4; an= (6n-2)/(4n+1)

Zeige, dass die Folgen Nullfolgen sind!

an= 10/n

Comments

Für die Grundlagen siehe hier: https://www.matheretter.de/wiki/monotonie-funktionen

Answer 1

beweise, dass die Folge streng monoton wächst: an= (3n-1)/(2n)

Man rechnet die Differenz a_n+1 - a_n zweier beliebiger aufeinander folgender Folgenglieder aus.

Ist diese immer positiv, ist die Folge streng monoton steigend.

[3•(n+1) -1] / [2•(n+1)] - (3n-1) / (2n)  

Beide Brüche auf den Hauptnenner 2n•(n+1) erweitern und auf einen Bruch schreiben:

[ 3n² + 3n - n - (3n² + 3n - n - 1) ] / [ 2n•(n+1) ]  =  1 /  [ 2n•(n+1) ]  > 0

→ a_n streng monoton steigend.

 Prüfe, ob die angegebenen Werte obere Schranken(?) für die jeweiligen Folgen sind:

2; 5/4; an= (6n-2)/(4n+1)

Polynomdivision:  (6n-2) : (4n+1) = 3/2  -  1 / (8n -2)

Da der Nenner mit wachsendem n immer kleiner wird, wird der Wert der Folgenglieder immer größer. Er nähert sich beliebig nah2 an 3/2 an, erreicht diesen Wert aber nie.

3/2 ist also die kleinste obere Schranke.

→  2 > 3/2 ist obere Schranke,  5/4 < 3/2 nicht.

Zeige, dass die Folgen Nullfolgen sind:   an= 10/n

Sei ε ∈ ℝ⁺ beliebig aber fest.

Für n > 10/ε liegen alle Folgenglieder in der Umgebung  ] - ε ; ε [  von Null.

→ 0 ist Grenzwert der Folge a_n

Gruß Wolfgang