Beweis Supremum einer partiell geordneten Menge ist eindeutig. Also a0=a1 zeigen.

Question

Sei A eine Teilmenge von X, wobei (X, ≤) eine partiell geordnete Menge ist.
Seien α0, α1 ∈ X zwei Suprema von A. Zeigen Sie, dass α0 = α1 ist.

A Teilmenge von X= aus x ∈ A⇒x ∈ X

Mein Ansatz:

(1) Supremum bedeutet ja, dass α0 und α1 die kleinsten oberen Schranken sein müssen, was ich beweisen muss. D.h: ich muss beweisen, dass für alle y> α0, α1 es ein o ∈ A gibt, sodass 
1−y<o gilt. 

(2) Muss ich beweisen, dass α0, α1 obere Schranken von A sind.

(3) α0 = α1 beweisen.

(4) α0 und α1 müssen aber kein Element von der Menge sein, da man ja kein Maximum beweisen muss.

So, dass ist mal mein Ansatz nur habe ich jetzt keine Ahnung wie ich diese Theorie anwenden sollte, auf dieses Beispiel. Stimmt mein Ansatz überhaupt?

Danke ! :-) 

Comments

Ich glaube nicht, dass die Behauptung stimmt. Wähle X = {a,b,r,s} und ≤ derart, dass a<r, a<s, b<r und b<s ist. Dann sind sowohl r als auch s Suprema von A = {a,b}.

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Ich sehe gerade dass in meinem Beispiel r und s nicht als Suprema bezeichnet werden, weil keines der beiden ≤ dem anderen ist. Dann stimmt die Behauptung wohl doch.