Beide Lösungen ergeben das Gleiche:
|A unter f(x) von 0 bis 1,5| + |A unter (f(x)-t(x)) von 1,5 bis 3| = |A unter f(x) von 0 bis 3| - |A unter t(x) von 1,5 -3|
~plot~ 0,5 x^2; 3x-4,5 ; [[ -1 | 7 | -1 | 5 ]] ~plot~
$$ \begin{aligned} A = \vert \int_{0}^{\frac{3}{2}} f(x) dx \vert + \vert \int_{\frac{3}{2}}^{3} (f(x)-t(x)) dx \vert &=& \vert \int_{0}^{3} f(x) dx \vert - \vert \int_{\frac{3}{2}}^{3} t(x) dx \vert \\ \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} f(x) &=& \frac{1}{2} x^2 \quad&;& \quad F(x)&=& \frac{1}{6} x^3+c_f \\ t(x) &=& 3 \cdot x - \frac{9}{2} \quad &;& \quad T(x)&=& \frac{3}{2} x^2-\frac{9}{2} \cdot x + c_t \\ f(x)-t(x)= d(x)&=& \frac{1}{2} x^2 - 3 \cdot x + \frac{9}{2} \quad&;& \quad D(x)&=& \frac{1}{6} x^3 - \frac{3}{2} \cdot x^2+\frac{9}{2} \cdot x + c_d \\ \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} A &=& \vert \int_{0}^{\frac{3}{2}} f(x) dx \vert + \vert \int_{\frac{3}{2}}^{3} (f(x)-t(x)) dx \vert \\ &=& \vert \left[ \frac{1}{6} x^3+c_f \right]_{0}^\frac{3}{2} \vert + \vert \left[ \frac{1}{6} x^3 - \frac{3}{2} \cdot x^2+\frac{9}{2} \cdot x + c_d \right]_\frac{3}{2}^{3} \vert \\ &=& ... = \frac {9}{8} \\ \\ A &=& \vert \int_{0}^{3} f(x) dx \vert - \vert \int_{\frac{3}{2}}^{3} t(x) dx \vert \\ &=& \vert \left[ \frac{1}{6} x^3+c_f \right]_0^3 \vert - \vert \left[ \frac{3}{2} x^2-\frac{9}{2} \cdot x + c_t \right]_\frac{3}{2}^3 \vert \\ &=& ... = \frac {9}{8} \end{aligned} $$
Bitte nachrechnen. Meine Abschätzung auf den Flächeninhalt anhand der Graphen deckt sich mit dem Ergebnis.
