Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen fa in Abhängigkeit von a.

Question

Vollständige Aufgabenstellung:

Extrempunkte des Graphen fa in Abhängigkeit von a bestimmen. Für welchen Wert von a liegt einer der Extrempunkte auf der x-Achse.

fa(x)= ax³-3ax+1

Das ist die gegebene Funktion. Nun folgt meine Rechnung wo ich aber nicht sehr weit komme.

fa'(x)= 3ax -3a

3ax -3a= 0 |:3 |+a

ax = a |:a

x=1

fa(1) = 3a -3a +1 das kommt mir an der Stelle ziemlich komisch vor, weiter weiß ich nicht und ich glaube ich habe irgendwo einen Fehler gemach, kann mir wer die Lösung geben ?

Answer 1

da \(f_a''(1) = 6a \) hast du also an der Stelle \(x=1\) einen Tiefpunkt für \(a >0\) und einen Hochpunkt für \(a<0\).

Du hast den Funktionswert falsch berechnet:

$$ f_a(1) = a-3a+1 = 1-2a $$

Damit dieser Extrempunkt auf der x-Achse liegt muss gelten: \(1-2a = 0\).

Zurück zur 1. Ableitung: Es ist \(f'_a(x) = 3a(x^2-1) \). Somit ist \(x=-1\) ebenfalls ein Kandidat.

Gruß

Comments

Ok danke, muss ich bei so Aufgaben immer ausklammern um auf die Nullstelle zu kommen solange in der zweiten Ableitung ein ² ist ?

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Die Gleichung \(x^2 = 1\) hat die Lösungen \(x_1 = 1 \) und \(x_2 = -1 \). Also warst du nicht ganz falsch (aber natürlich auch nicht ganz richtig ^^)

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Ah habe gerade gemerkt das du den Fehler ja in deiner Lösung berücksichtigt hast. Ich bin ein bisschen brainafk, habe eben erst rausgefunden das ich für morgen noch voll viel von den kack Aufgaben machen muss und die Hausaufgabe ist der einstieg ins thema, also wir hatten das noch nicht im Unterricht. Eigentlich wollte ich schalfengehen und bin hundemüde. xD   


aber woher weiß ich jetzt das ich bei fa 1 und nicht -1 einsetzen muss ?

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:) Du musst sogar beides machen, denn du hast ja 2 mögliche Extrempunkte die auf der x-Achse liegen können.

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Echt ? Also auch fa (-1)= -a+3a+1 = 2a+1 = 0 ?

Aber was wäre denn dann konkret die Lösung zur Aufgabe ?

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Für \(a = \frac{1}{2}\) liegt der Extrempunkt (Tiefpunkt) an der Stelle \(x=1\) auf der x-Achse.

Für \(a = -\frac{1}{2} \) liegt der Extrempunkt (Hochpunkt) an der Stelle \(x=-1\) auf der x-Achse.

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Wie kommst du den jetzt auf a=1/2 und a =-1/2 :o

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für x=1 ist zu lösen

0=a-3a+1

0=-2a+1

2a=1

a=o,5

für x=-1 ist zu lösen

0=-a+3a+1

0=2a+1

-2a=1

a=-0,5

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Danke für die Erklärung !

Answer 2

1. Ableitung lautet doch

f'(x)=3*a*x^2-3a

Null setzen

0=3*a*x^2-3a

0=3*a*(x^2-1)

für x=-1 und x=1 wird (x^2-1) zu Null

jetzt muss f(1)=0 oder f(-1)=0 sein, setze -1 bzw. 1 in die Funktionsgleichung ein, bestimme daraus die beiden a