Teilbarkeitsaussagen, vollständige Induktion

Question

1.Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:

a)

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ k(k+1)=\frac { 1 }{ 3 } n(n+1)(n+2) } $$

b)

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k(k+1) }  } =\quad \frac { n }{ n+1 } $$

2.Zeigen Sie die Richtigkeit folgender Teilbarkeitsaussagen durch vollständige Induktion:

a)

∀n∈ℕ₀ : 8 | (9ⁿ+7)

b)

∀n∈ℕ₀ : 64 | (9ⁿ - 8n -1)

Comments

Wo genau scheiterst du denn bei der Induktion?

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Bei dem Induktionsschritt

Answer 1

Behauptung:

∑ (k = 1 bis n) (k·(k + 1)) = 1/3·n·(n + 1)·(n + 2)

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis n) (k·(k + 1)) = 1/3·n·(n + 1)·(n + 2)

(1·(1 + 1)) = 1/3·1·(1 + 1)·(1 + 2)

2 = 2

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (k·(k + 1)) = 1/3·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)

∑ (k = 1 bis n) (k·(k + 1)) + (n + 1)·(n + 2) = 1/3·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)

1/3·n·(n + 1)·(n + 2) + (n + 1)·(n + 2) = 1/3·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)

1/3·n + 1 = 1/3·(n + 3)

1/3·n + 1 = 1/3·n + 1

w.z.b.w.

Comments

Induktionsanfang n = 1

9^1 + 7 = 16 und 16 ist durch 8 teilbar

Induktionsschritt: n --> n + 1

9^{n + 1} + 7 ist durch 8 teilbar

9 * 9^n + 7 ist durch 8 teilbar

9 * 9^n + 7 + 7 * 8 ist durch 8 teilbar

9 * 9^n + 7 + 8 * 7 ist durch 8 teilbar

9 * 9^n + 9 * 7 ist durch 8 teilbar

9 * (9^n + 7) ist durch 8 teilbar

Die Klammer ist jetzt aber durch die Induktionsannahme durch 8 teilbar.

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Bei dem Induktionsschritt steht in der 3. Zeile: 9*9ⁿ+7+7*8Wieso hast du 7*8 dazu addiert? Und wieso steht in der 5.Zeile 9*7, von wo kommt die 9?