Aufgabe zur Spur einer Matrix

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Könnte mir jemand diese zwei Beweise erklären?

Answer 1

Hi,
zu(a)

sei \( C = AB \) und \( D = BA \), dann gilt \( C_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} B_{kj} \) und \( D_{ij} = \sum_{k=1}^n B_{ik} A_{kj} \)

also $$ \text{Tr}(C) = \sum_{i=1}^n C_{ii} = \sum_{i,k=1}^n A_{ik}B_{ki} $$ und
$$ \text{Tr}(D) = \sum_{i=1}^n D_{ii} = \sum_{i,k=1}^n B_{ik}A_{ki} = \sum_{k,i=1}^n B_{ik}A_{ki} = \sum_{i,k=1}^n B_{ki}A_{ik} $$ letztres folgt durch Umnummerierung. Deshalb folgt $$ \text{Tr}(C)-\text{Tr}(D) = 0  $$

zu (b)
das Charakteristische Polynom lautet $$ p(\lambda) = ( \lambda - \lambda_1) \cdots ( \lambda - \lambda_n) = \lambda^n - \sum_{i=1}^n\lambda_i \cdot \lambda^{n-1} + Q(\lambda) $$ mit einem Polynom \( Q(\lambda) \) vom \( \text{Grad} \le n-2  \)

Weil \( a_{n-1} = -\text{Tr}(A) \) gilt, folgt $$ \text{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i  $$

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Ich werde das versuchen nachzuvollziehen und gegebenenfalls bei einem Problem nachfragen, falls das in Ordnung ist

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Oke, den Beweis von a) habe ich verstanden, aber bei b) verstehe ich nicht wirklich etwas, könntest du das eventuell in Worten zu erklären versuchen?

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Hi, das charakteristische Polynom zerffällt über \( \mathbb{C} \) in Linearfaktoren. Deshalb gilt \( p(\lambda) = (\lambda-\lambda_1) \cdots \lambda-\lambda_1) \)
Danach wird das Produkt ausmultipliziert und nach Potenzen von \( \lambda \) geordnet und die Faktoren \(  a_i \) von \( a_i \lambda^i \) für \( i = 1 \cdots n \) bestimmt. \( \lambda^n \) hat als Faktor eine \( 1 \). Bei der Potenz \( \lambda^{n-1} \) kommt \( -(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n) \) heraus. Danach geht es mit Potenzen \( \le n-2 \) weiter. Andererseits ist \( p(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 \) Deshalb gilt \( a_{n-1} = -\text{Tr}(A) = -(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n) \) also $$ \text{Tr}(A) = (\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)  $$

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Für einen Spezialfall geht es auch so. Wenn die Matrix \( A \) diagonalisierbar ist, gilt

$$  D = T^{-1}AT  $$ wobei \( D \) eine Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen. Deshalb gilt $$ \text{Tr(D)} = \text{Tr}(T^{-1}AT) = \text{Tr}(ATT^{-1}) = \text{Tr}(A) $$

Der vorletzte Schritt gilt wegen Teil (a)

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Ohne groß drüber nachzudenken sollte es auch Matrizen gelten, die auf Joran Normalform gebracht werden können. Siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform