Zeigen Sie: Wenn lim(n→∞) an = ∞ ... folgt... und lim (n→∞) (an + bn) = 0

Question

ich hänge nun seit mehren Stunden an foldenden Aufgaben:

Sei (a_n) eine reelle Folge mit  lim(n→∞) a_n = ∞ Zeigen Sie;

1. Es gibt ein N ∈ ℕ mit a_n ≠ 0 für alle n ≥ N und es gilt

lim(n→∞)  a_n^-1 = 0

wobei diese Folge erst bei a_N^-1 beginnt. 

2. Falls (b_n) eine beschränkte Folge ist, so gilt lim(n→∞) (a_n + b_n) = ∞

Ich

Comments

Sei (an) eine reelle Folge mit  lim(n→∞) a_n^-1 = 0 = ∞

:D?

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Ich Idiot ^^

Es sollte heißen:

Sei (an) eine reelle Folge mit lim(n→∞) a_n = ∞. Zeigen Sie:

weiter an 1.)

Tut mir leid :P

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Habe das bis zu Zeigen sie mal ersetzt.

Aber

die Zeile mit

1. ---- widerspricht nun der Zeile oberhalb.

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Nochmal ordentlich und richtig wie es auf dem Blatt steht.

Sei (a_n) eine reelle Folge mit  lim(n→∞) a_n = ∞ Zeigen Sie;

1. Es gibt ein N ∈ ℕ mit a_n ≠ 0 für alle n ≥ N und es gilt

lim(n→∞)  a_n^-1 = 0

wobei diese Folge erst bei a_N^-1 beginnt.

2. Falls (b_n) eine beschränkte Folge ist, so gilt lim(n→∞) (a_n + b_n) = ∞

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EDIT: Deine neue Version oben eingefügt und vorherige ersetzt. Hoffe das ist so ok.

Answer 1

schreib dir doch selbst nochmal die konkrete Definition von \(\lim \limits_{n \to \infty} a_n = \infty \) auf. Daraus solltest du eigentlich direkt den ersten Teil von 1. beantworten können und durch umformen auch den Rest.

Für 2. brauchst du eigentlich nur wieder die Definition und die Dreiecksungleichung.

Es hilft sehr oft sich die Definition von dem aufzuschreiben, was eigentlich zu zeigen ist (quasi da wo man hin will).

Gruß

Comments

Wärst du eventuell so nett und könntest hier die Lösung dazu geben. Würde mich ganz gerne nochmal eine Weile an die Aufgabe setzen und ggf. mein Ergebnis mit deinem vergleichen. Bis 0Uhr hätte ich noch Zeit, da ich erst um 5 wieer raus muss.

Sascha

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Gerne akzeptiere ich auch Lösungen von anderen Personen, also wer sich gerne noch die Zeit nehmen will/kann, dann gerne :)

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Fixiere \(K > 0\), dann ex. ein \(N \in \mathbb{N}: |a_n| > K \) für alle \(n \geq N\).
Für  \(C > 0\) sei \( \varepsilon:=\frac{1}{C}\). Es ex. ein \(M \in \mathbb{N}\) mit \(|a_n| > C\) für alle \(n \geq M\). Dann ist für alle \(n \geq \max\{N,M\}: |a^{-1}_n| < \frac{1}{C} = \varepsilon\).
Für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt \(|b_n| \leq S \in \mathbb{R}\). Da für \(|a_n + b_n| \geq |a_n|-|b_n| \) folgt die Aussage, da es für alle \(K >0\) ein \(N \in \mathbb{N} \) gibt mit \(|a_n| >K + S\) für alle \(n \geq N\).

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Danke für deine Antwort, mittlerweile ist es logisch, dass lim(n→∞)  a_n^-1 = 0 sein muss, da für eine beleibige zahl a_n der Wert gegen 0 geht. Es ist echt hilfreich sich nochmal die genau Definition anzugucken.

Daumen für die Hilfe! Klasse Arbeit

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Es ist nicht nur sehr hilfreich, das ist die Grundvoraussetzung für jeden Beweis.

Gerne. Der Beweis ist ein wenig komprimiert. Du solltest ihn mit deinen eigenen Erklärungen ergänzen.