Prüfung auf k Vektorraum bzgl punktweiser Addition und skalarer Multiplikation

Question

Ich sitze grad an der Aufgabe die ihr unten auf dem Foto sehen könnt.. 

Leider weiß ich gar nicht wie ich da anfangen soll, und wie das dann richtig aufgeschrieben wird.

Es wäre super toll wenn jemand helfen könnte oder einen netten Rat hat :)

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Du musst nachrechnen, dass das so definierte Objekt die Vektorraumaxiome erfüllt bzw. in der zweiten Aufgaben das Untergruppenkriterium.

Answer 1

für den Folgenraum könnte das so beginnen:

Das K hoch No nenne ich mal V.  Dann muss ( V , + ) eine

Gruppe sein. Dazu muss Assoziativität, neztr. El , inv El. geprüft werden.

1.  für alle f,g,h aus V muss gelten   ( f+g) + h = f + ( g + h)

und wenn a_i , b_i  und c_i die Folgengleider sind, wäre zu prüfen, ob

                        (  a_i + b_i ) _{i ∈ No}  + h  =  f +   (  b_i + c_i ) _{i ∈ No}

also                (  (  a_i + b_i ) + c_i ))  _{i ∈ No} =   ( a_i + (  b_i + c_i )) _{i ∈ No}    

                              Da aber die Folgenglieder in K liegen,

wo das Assoziatigesetz gilt,  sind eben diese Folgen gleich.  

2.   neutrales El ist die Folge, bei denen alle Folgenglieder 0en sind.

3. Inverses El zu    (  a_i  ) _{i ∈ No}   ist die Folge mit den inversen

Folgengliedern, also     (  -  a_i  ) _{i ∈ No}  

usw. zeigst du auch die anderen Axiome, z.B. ein Distr.ges.

mit L aus K und f und g wie oben

L * ( f + g ) =  L *   (  a_i + b_i ) _{i ∈ No}   und Def. von * sagt ja, jedes Folgenglied

mit L multiplizieren also   = ( L* (  a_i + b_i ) ) _{i ∈ No}  

aber in K ist ja wieder alles distributiv, also

= ( L*  a_i + L * b_i  ) _{i ∈ No}  

und das ist nun wieder die Summe zweier Folgen

= ( L*  a_i ) _{i ∈ No}  +   ( L * b_i  ) _{i ∈ No}  

und nach Def. von * also

= L*f  +   L*g   .

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Hey super nett von dir! Kannst du mir vielleicht auch bei der weiterführenden Aufgabe helfen?