lineare Abhängigkeit mit parameter

Question

Für welches r∈ℝ sind die Vektoren aus ℝ^3

(1,3,4),(3,r,11),(-1,-4,0) linear abhängig?

Wie kann ich den Wert r ermitteln?

Answer 1

Hi,
linear abhängig sind die Vektoren, wenn gilt
$$ \alpha_1\begin{pmatrix} 1\\3\\4 \end{pmatrix} + \alpha_2\begin{pmatrix} 3\\5\\11 \end{pmatrix} + \alpha_3\begin{pmatrix} -1\\-4\\0 \end{pmatrix} = 0 $$ für nicht alle \( \alpha_i = 0 \)
D.h. es muss \( r \) so bestimmt werden, dass die Gleichung
$$  \begin{pmatrix}  1 & 3 & -1 \\ 3 & r & -4 \\ 4 & 11 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3 \end{pmatrix} = 0 $$ eine nicht triviale Lösung besitzt. Dies ist der Fall, wenn die Determinate gleich \( 0 \) ist mit \( A = \begin{pmatrix}  1 & 3 & -1 \\ 3 & r & -4 \\ 4 & 11 & 0 \end{pmatrix} \)
Es gilt $$ \det(A) = 4r - 37 $$
Also folgt \( r = \frac{37}{4} \)

Answer 2

im ℝ³  berechnest du am einfachsten das "Spatprodukt"    [ (1,3, 4) x (3,r,11) ] • (-1,-4,0)  

und prüfst, für welche r das Ergebnis Null wird.

Genau für diese r sind die Vektoren linear abhängig.

[ Kontrollergebnis:  SP =  4·r - 37 = 0  →  r = 37/4 ]

Gruß Wolfgang