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Aufgabe:

Für welches tC t \in \mathbb{C} sind die folgenden Vektoren in C3 \mathbb{C}^{3} linear abhängig?
v1=(1+2i,3i,4+i),v2=(2i,3i,4i),v3=(2+2i,t,3+i) v_{1}=(1+2 i, 3-i, 4+i), \quad v_{2}=(-2-i, 3-i, 4-i), \quad v_{3}=(2+2 i, t, 3+i)


Problem/Ansatz:

Wenn Vektoren linear abhängig sein sollen, dann möchte man prüfen, ob sie durch Linearkombination den Nullvektor ergeben. Dies habe ich einmal versucht, stoße allerdings auf ein Problem beim Lösen des Gleichungssystems ...

Hier mein Ansatz:
x : λ1(1+i)+λ2(2i)+λ3(2+2i)=0 x: \qquad\lambda_1 (1+i)+\lambda_2(-2-i)+\lambda_3(2+2i) = 0
y : λ1(3i)+λ2(3i)+λ3(t)=0 y: \qquad\lambda_1 (3-i)+\lambda_2(3-i)+\lambda_3(t) = 0
z : λ1(4+i)+λ2(4i)+λ3(3+i)=0 z:\qquad \lambda_1 (4+i)+\lambda_2(4-i)+\lambda_3(3+i) = 0

Eine Idee war, dass für t=0t=0 die zweite Gleichung wahr wird, wenn λ1=λ2\lambda_1 =- \lambda_2, wäre dies eine legitime Lösung? Falls nein, dann bin ich leider überfragt... Und eine andere Frage: Sind die Koeffizienten λ1,λ2 \lambda_1,\lambda_2 und λ3R\lambda_3 \in \mathbb{R} oder C\mathbb{C}?

Vielen Dank für jede Hilfe
Grüße

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1 Antwort

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ob sie durch Linearkombination den Nullvektor ergeben

Das tun sie bei geeigneter Belegung der Variablen immer, nämlich bei λ1=λ2=λ3=0\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3 = 0.

Eigentlich ist man daran interessiert, ob obige Belegung die einzige ist, ob also das LGS eindeutig lösbar ist. Das kannst du mit der Determinante prüfen.

Sind die Koeffizienten λ1,λ2 \lambda_1,\lambda_2 und λ3R\lambda_3 \in \mathbb{R} oder C\mathbb{C}?

Diese Angabe ist in der Aufgabenstellung etwas versteckt.

Wenn von einem Vektorraum KnK^n die Rede ist, und nicht explizit angegeben ist, aus welchem Körper die Koeffizienten kommen, dann kommen die Koeffizienten aus dem Körper KK.

Weil deine Vektoren aus C3\mathbb{C}^3 kommen, sind λ1,λ2,λ3C \lambda_1,\lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{C}.

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