Lineare Abhängigkeit bei komplexen Vektoren

Question

Aufgabe:

Für welches \( t \in \mathbb{C} \) sind die folgenden Vektoren in \( \mathbb{C}^{3} \) linear abhängig?
\( v_{1}=(1+2 i, 3-i, 4+i), \quad v_{2}=(-2-i, 3-i, 4-i), \quad v_{3}=(2+2 i, t, 3+i)\)

Problem/Ansatz:

Wenn Vektoren linear abhängig sein sollen, dann möchte man prüfen, ob sie durch Linearkombination den Nullvektor ergeben. Dies habe ich einmal versucht, stoße allerdings auf ein Problem beim Lösen des Gleichungssystems ...

Hier mein Ansatz:
\( x: \qquad\lambda_1 (1+i)+\lambda_2(-2-i)+\lambda_3(2+2i) = 0\)
\( y: \qquad\lambda_1 (3-i)+\lambda_2(3-i)+\lambda_3(t) = 0\)
\( z:\qquad \lambda_1 (4+i)+\lambda_2(4-i)+\lambda_3(3+i) = 0\)

Eine Idee war, dass für \(t=0 \) die zweite Gleichung wahr wird, wenn \(\lambda_1 =- \lambda_2\), wäre dies eine legitime Lösung? Falls nein, dann bin ich leider überfragt... Und eine andere Frage: Sind die Koeffizienten \( \lambda_1,\lambda_2\) und \(\lambda_3 \in \mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\)?

Vielen Dank für jede Hilfe
Grüße

Answer 1

ob sie durch Linearkombination den Nullvektor ergeben

Das tun sie bei geeigneter Belegung der Variablen immer, nämlich bei \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3 = 0\).

Eigentlich ist man daran interessiert, ob obige Belegung die einzige ist, ob also das LGS eindeutig lösbar ist. Das kannst du mit der Determinante prüfen.

Sind die Koeffizienten \( \lambda_1,\lambda_2\) und \(\lambda_3 \in \mathbb{R}\) oder \(\mathbb{C}\)?

Diese Angabe ist in der Aufgabenstellung etwas versteckt.

Wenn von einem Vektorraum \(K^n\) die Rede ist, und nicht explizit angegeben ist, aus welchem Körper die Koeffizienten kommen, dann kommen die Koeffizienten aus dem Körper \(K\).

Weil deine Vektoren aus \(\mathbb{C}^3\) kommen, sind \( \lambda_1,\lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{C}\).